Slumpförsök, utfall och utfallsrum

Vad det är

Ett slumpförsök är ett försök där slumpen avgör resultatet men där det går att lista i förväg vad som kan hända. Ett tärningskast är ett slumpförsök. Resultatet av ett försök är ett utfall, till exempel “fyra”, och alla möjliga utfall tillsammans är utfallsrummet, ofta skrivet Ω. För en tärning är Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

En händelse är en samling utfall, alltså en delmängd av utfallsrummet. “Jämnt tal” är händelsen {2, 4, 6}, och den inträffar om utfallet är ett av de tre talen. Ett enskilt utfall är också en händelse, {4}. Den tomma händelsen kan aldrig inträffa, och hela Ω inträffar alltid. Händelser är mängder och kombineras som mängder.

Antalet utfall räknas med multiplikationsprincipen: tre myntkast ger 2 · 2 · 2 = 8 utfall och två tärningar 6 · 6 = 36.

Samma försök kan beskrivas med olika utfallsrum, beroende på vad man skriver upp. Ett tärningskast kan ha utfallsrummet {1, 2, 3, 4, 5, 6} eller {sexa, inte sexa}. Båda duger, men bara i det första är utfallen lika sannolika.

Utfallsrummet behöver inte vara en kort lista. I försöket “kasta tills det blir en sexa” är utfallen antalet kast, 1, 2, 3 och så vidare utan slut, och när man väntar på en buss som går en gång i timmen är utfallen alla tider mellan 0 och 60 minuter.

Inte slumpförsök och inte utfall: 2 + 3 är inget slumpförsök, eftersom svaret är bestämt i förväg. “Jämnt tal” och “minst 4” är inga utfall utan händelser.

Varför det spelar roll

Utfallsrummet är nämnaren i den klassiska sannolikheten. När alla utfall är lika sannolika är

P(A) = antalet utfall i A / antalet utfall i Ω

som på sidan om sannolikhet för en händelse. Med fel utfallsrum blir svaret fel.

• Summan av två tärningar. Summorna 2, 3, …, 12 är elva möjliga resultat, men de är inte lika sannolika. Den som räknar summorna som utfall får P(summa 7) = 1/11 ≈ 0,091, vilket är fel. De 36 paren är lika sannolika, och sex av dem ger summan 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), så P(summa 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167.
• Två myntkast. Sannolikheten för exakt en krona är 2/4 = 1/2, eftersom KL och LK är olika utfall. Den som räknar 0, 1 och 2 kronor som tre lika sannolika utfall får 1/3; de har sannolikheterna 1/4, 1/2 och 1/4.
• Komplement, union och snitt. Att A inte inträffar är händelsen Ω utan A, se komplementhändelse. “A eller B” är unionen och “A och B” snittet, se additionsprincipen.
• Att räkna utfall. Ordnade val räknas med permutationer och oordnade med kombinationer. Ett lotto där 7 nummer dras av 35 har C(35, 7) = 6 724 520 utfall, så sannolikheten för sju rätt på en rad är 1/6 724 520.
• Att mäta i stället för att räkna. När utfallen inte är lika sannolika, som för en tärning som inte är jämn, uppskattas sannolikheterna genom att upprepa försöket och räkna den relativa frekvensen.
• Summan är 1. I ett utfallsrum med ändligt många utfall är summan av utfallens sannolikheter 1. Två tärningar har 36 utfall med sannolikheten 1/36 vardera.

Vanliga missuppfattningar

• “Två utfall betyder 50/50.” “Sexa” och “inte sexa” är två utfall med sannolikheterna 1/6 och 5/6. Gynnsamma genom möjliga gäller bara när utfallen är lika sannolika. Vinst, oavgjort och förlust är tre utfall av en match, men ingenting säger att de är lika sannolika.
• “KL och LK är samma utfall.” I utfallsrummet för två myntkast är de olika, eftersom första och andra kastet är olika kast. Slås de ihop till “en krona och en klave” blir det en händelse med två utfall.
• “Utfall och händelse är samma sak.” Ett utfall är ett resultat, en händelse är en samling resultat. “Jämnt tal” är händelsen {2, 4, 6} och består av tre utfall.
• “Utfallsrummet är de utfall jag vill ha.” Utfallsrummet är alla möjliga utfall. De gynnsamma utgör händelsen, en delmängd av utfallsrummet.

Vanliga frågor