Vad det är
En mängd är en samling av olika objekt, som kallas dess element. Man skriver elementen mellan måsvingar: A = {1, 2, 3}. Det som kännetecknar en mängd är två saker. Ordningen spelar ingen roll, så {1, 2, 3} = {3, 2, 1}. Och ett element finns antingen med eller inte: det räknas inte två gånger.
Exempel på mängder:
- {2, 3, 5, 7}, primtalen under 10.
- Lösningarna till x² = 9, alltså {−3, 3}.
- De jämna talen {…, −2, 0, 2, 4, …}.
- Den tomma mängden ∅, som saknar element. Ekvationen x² = −1 har ingen lösning bland de reella talen, så lösningsmängden är ∅.
Inte mängder, eller inte det man först tror:
- {1, 1, 2} är mängden {1, 2}. Tre tecken skrivna, två element.
- (1, 2) är ett ordnat par, inte en mängd, för (1, 2) och (2, 1) är olika medan {1, 2} och {2, 1} är lika.
- “Tal nära 5” är ingen mängd förrän man bestämt vad “nära” är. En mängd måste kunna avgöra om ett objekt är med eller inte.
- {0} är inte den tomma mängden. Den har ett element, talet 0.
Med två mängder A = {1, 2, 3} och B = {2, 3, 4}:
| Operation | Skrivs | Resultat |
|---|---|---|
| Union (i A eller B) | A ∪ B | {1, 2, 3, 4} |
| Snitt (i både A och B) | A ∩ B | {2, 3} |
| Differens (i A men inte i B) | A ∖ B | {1} |
Att 2 är ett element i A skrivs 2 ∈ A. Att {2, 3} är en delmängd av A skrivs {2, 3} ⊆ A. Alla symboler finns i tabellen över mängdlärans notation.
Varför det spelar roll
Mängder är språket som annan matematik skrivs i. Ett intervall är en mängd, en lösning är en mängd och en händelse i sannolikhet är en mängd av utfall.
- Ett intervall som [2, 5) är mängden av alla reella x med 2 ≤ x < 5.
- I sannolikhet är en händelse en mängd av utfall. Kast med en tärning: A = {2, 4, 6} (jämnt) och B = {4, 5, 6} (minst 4). Då är A ∪ B = {2, 4, 5, 6} med 4 utfall, så P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3. Samma svar ger additionsprincipen: 1/2 + 1/2 − P(A ∩ B) med A ∩ B = {4, 6}, alltså 1/2 + 1/2 − 1/3 = 2/3.
- Att talen i A ∩ B räknas två gånger om man bara lägger ihop antalen är orsaken till minustermen: |A ∪ B| = 3 + 3 − 2 = 4 för mängderna ovan.
- Komplementhändelsen är det som inte är med i en mängd.
Vanliga missuppfattningar
- “Element och delmängd är samma sak.” 2 ∈ A betyder att talet 2 är med i A. {2} ⊆ A betyder att mängden med bara talet 2 ingår i A. Det är olika sorters påståenden.
- “Union adderar antalen.” |A ∪ B| är inte |A| + |B|. Med A och B ovan är 3 + 3 = 6 men A ∪ B har 4 element, för 2 och 3 räknas bara en gång.
- “Ett element kan ligga flera gånger i en mängd.” Då är det en lista eller en multimängd, inte en mängd.
Vanliga frågor
Hur många delmängder har {1, 2, 3}?
Åtta: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} och {1, 2, 3}. Varje element är antingen med eller inte, så en
mängd med n element har 2ⁿ delmängder, här 2³ = 8.
Är den tomma mängden en delmängd av varje mängd?
Ja. Det finns inget element i ∅ som saknas i den andra mängden, så villkoret för att vara delmängd är uppfyllt.