Vad det är
En implikation A ⇒ B läses “om A så B”. Den påstår att varje gång A gäller, så gäller också B. Den säger ingenting om vad som händer när A inte gäller.
- x = 3 ⇒ x² = 9. Sant: 3² = 9.
- n är delbart med 6 ⇒ n är delbart med 3. Sant: är n = 6k så är n = 3 · 2k.
Den omvända implikationen, B ⇒ A, kallas omvändningen, och den behöver inte gälla.
- x² = 9 ⇒ x = 3 är falsk. x = −3 gör vänstra sidan sann och högra falsk. Ett sådant fall kallas motexempel, och ett enda räcker för att visa att en implikation är falsk.
- n är delbart med 3 ⇒ n är delbart med 6 är falsk. n = 9 är motexemplet.
En ekvivalens A ⇔ B gäller när implikationen går åt båda hållen. Den läses “A precis när B” eller “A om och endast om B”.
- x + 2 = 5 ⇔ x = 3. Åt höger: subtrahera 2. Åt vänster: addera 2.
- En triangel med sidorna a, b, c där c är längst är rätvinklig ⇔ a² + b² = c². Det ena hållet är Pythagoras sats, det andra är dess omvändning.
- n är jämnt ⇔ n är delbart med 2.
Inte en ekvivalens: x² = 9 ⇔ x = 3, för det går bara åt ena hållet.
Varför det spelar roll
När man löser en ekvation skriver man rad efter rad. Varje steg är antingen en ekvivalens eller bara en implikation, och det avgör om svaret måste kontrolleras.
- I en linjär ekvation är varje steg en ekvivalens: 3x + 5 = 17 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4. Lösningarna är hela tiden desamma.
- När man kvadrerar båda led är steget bara en implikation. Ta √(x + 2) = x. Kvadrerar man får man x + 2 = x², alltså (x − 2)(x + 1) = 0, så x = 2 eller x = −1. Prövar man: √4 = 2 stämmer, men √1 = 1 är inte −1. Därför måste man pröva rötterna i rotekvationer.
- Att Pythagoras sats och dess omvändning båda gäller är det som gör att man kan använda den för att kontrollera en rät vinkel, inte bara för att räkna ut en sida.
Samma tänkande gäller utanför matematiken. “Alla hundar är djur” gäller inte åt andra hållet.
Vanliga missuppfattningar
- “A ⇒ B och B ⇒ A är samma sak.” Nej. x = 3 ⇒ x² = 9 gäller, x² = 9 ⇒ x = 3 gör det inte.
- “Pilen ⇒ är ett likhetstecken.” Likhetstecknet sätts mellan tal eller uttryck. Pilen sätts mellan påståenden.
- “Många exempel visar att en implikation gäller.” Det gör de inte. Uttrycket n² + n + 41 ger ett primtal för n = 0, 1, …, 39, men för n = 40 blir det 1681 = 41², som inte är ett primtal.
- “Att kvadrera båda led är ett ekvivalent steg.” Det är bara en implikation, så falska rötter kan ha kommit till. Därför prövar man svaren.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan ⇒ och ⇔?
⇒ går åt ett håll: från det som gäller till det som följer. ⇔ går åt båda. A ⇔ B betyder samma sak som att
både A ⇒ B och B ⇒ A gäller.
Vad betyder “om och endast om”?
Samma sak som ⇔. “Ett tal är jämnt om och endast om det är delbart med 2” betyder att det gäller åt båda hållen:
jämna tal är delbara med 2, och tal som är delbara med 2 är jämna.
Hur visar man att en implikation är falsk?
Med ett motexempel: ett fall där det första påståendet gäller och det andra inte. För “x² = 9 ⇒ x = 3” räcker
x = −3.