Metoden
- Isolera roten i ett av leden.
- Kvadrera båda leden. Roten försvinner och kvar blir oftast en andragradsekvation.
- Lös den, till exempel med pq-formeln.
- Pröva varje rot i den ursprungliga ekvationen. En rot som inte stämmer är en falsk rot och förkastas.
Exempel med en falsk rot: √(x + 7) = x + 1
Kvadrering ger x + 7 = x² + 2x + 1, alltså x² + x − 6 = 0 med rötterna x = 2 och x = −3.
- x = 2: VL = √9 = 3 och HL = 2 + 1 = 3. VL = HL, så x = 2 är en lösning.
- x = −3: VL = √4 = 2 men HL = −3 + 1 = −2. VL ≠ HL, så x = −3 är en falsk rot.
Svaret är x = 2.
Exempel utan falsk rot: √(3x + 4) = x + 2
Kvadrering ger 3x + 4 = x² + 4x + 4, alltså x² + x = 0 med rötterna x = 0 och x = −1. Prövning: √4 = 2 = 0 + 2 och √1 = 1 = −1 + 2. Båda stämmer, så ekvationen har två lösningar.
Varför falska rötter uppstår
Kvadrering gör a = b till a² = b², och den senare gäller även när a = −b. Rotens värde är aldrig negativt, så en rot där högerledet blir negativt kan inte lösa den ursprungliga ekvationen. Det är just den roten prövningen fångar. Steget a = b ⇒ a² = b² är en implikation, inte en ekvivalens.
Vanliga misstag
- Att hoppa över prövningen. Det är den som skiljer en lösning från en falsk rot.
- Att pröva i den kvadrerade ekvationen. Där stämmer båda rötterna; prövningen görs i ekvationen som den var given.
- Att kvadrera term för term. (x + 1)² är x² + 2x + 1, inte x² + 1.
- Att kvadrera innan roten är isolerad. √(x + 7) + 2 = x + 3 kvadreras först efter att 2 har subtraherats från båda led.
Se också
pq-formeln för andragradsekvationen och rationell exponent för roten skriven som en potens.