Vad det är
Ett primtal är ett heltal större än 1 som har exakt två positiva delare: 1 och talet självt. 7 är ett primtal, för det enda som går jämnt upp i 7 är 1 och 7. 12 är det inte, för 12 går också att dela med 2, 3, 4 och 6.
Ett heltal större än 1 som inte är ett primtal kallas sammansatt: det går att skriva som en produkt av två mindre heltal större än 1, som 12 = 3 · 4. Talen 0 och 1 är varken primtal eller sammansatta.
De första primtalen är
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …
Under 100 finns 25 primtal och under 1 000 finns 168. Alla står i tabellen över primtal.
- 2 är ett primtal, och det enda jämna. Alla andra jämna tal går att dela med 2.
- 1 är inte ett primtal. Det har bara en positiv delare, inte två.
- 51 är inte ett primtal: 51 = 3 · 17. Siffersumman 5 + 1 = 6 är delbar med 3, och då är talet det också, se delbarhetsreglerna.
- 97 är ett primtal. Det räcker att pröva primtalen upp till roten ur 97, alltså 2, 3, 5 och 7, och inget av dem går jämnt upp.
Att det räcker att pröva upp till roten ur talet beror på att delare kommer i par. I 91 = 7 · 13 är den ena faktorn högst √91 ≈ 9,5, och så är det med varje uppdelning i två faktorer. Finns ingen delare under roten finns det ingen ovanför heller.
Varför det spelar roll
Primtalen är heltalens byggstenar. Varje heltal större än 1 är antingen ett primtal eller en produkt av primtal, och produkten är densamma hur man än kommer fram till den, bortsett från ordningen: 360 är 2³ · 3² · 5 och ingenting annat. Det heter aritmetikens fundamentalsats, och primtalsfaktorisering är metoden som hittar produkten.
Det mesta man gör med delbarhet går genom de faktorerna:
- Största gemensamma delare är de primtal två tal har gemensamt, se SGD.
- Minsta gemensamma multipel tar med alla primtal som finns i något av talen, se MGM. Den ger minsta gemensamma nämnare när bråk ska adderas.
- Att förkorta ett bråk är att stryka primtal som finns i både täljare och nämnare: 84/360 = (2² · 3 · 7)/(2³ · 3² · 5) = 7/30.
Utanför skolan bygger en vanlig sorts kryptering, RSA, på att det går fort att multiplicera två stora primtal men, med de metoder man känner till, mycket långsamt att hitta dem igen ur produkten.
Primtalsfaktoriseringsverktyget delar upp vilket tal som helst och visar varje steg, och övningsbladen ger frågor med facit.
Vanliga missuppfattningar
- “1 är ett primtal.” Det har bara en delare. Räknades det ändå som primtal skulle faktoriseringen inte längre vara entydig: 6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 1 · 1 · 2 · 3.
- “Udda tal är primtal.” 9, 15, 21, 25 och 27 är udda och sammansatta. Ett primtal över 2 måste vara udda, men långt ifrån varje udda tal är ett primtal.
- “Ett tal som ser ovanligt ut är nog ett primtal.” 91 = 7 · 13 och 57 = 3 · 19 ser ut som primtal men är det inte. Pröva divisionerna i stället för att gissa.
- “Primtalen tar slut någon gång.” De blir glesare ju längre ut man kommer, men de tar aldrig slut. Det visade Euklides för mer än 2 000 år sedan.
Vanliga frågor
Hur många primtal finns det?
Oändligt många. Euklides argument: multiplicera ihop några primtal och lägg till 1. Det nya talet går
inte att dela med något av dem, för det blir alltid 1 över, så dess primtalsfaktorer är primtal som
inte fanns med. Talet självt behöver inte vara ett primtal: 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30 031,
som är 59 · 509.
Är negativa tal primtal?
Nej, inte med definitionen här. Ett primtal är ett heltal större än 1, så varken negativa tal, 0 eller 1
räknas.
Hur ser man snabbt om ett tal är ett primtal?
Dela med primtalen 2, 3, 5, 7, 11, … så länge primtalet i kvadrat inte är större än talet. Går inget
jämnt upp är talet ett primtal. För 2, 3 och 5 räcker det att titta på siffrorna, se
delbarhetsreglerna.