Imaginära enheten

Vad det är

Kvadraten av ett reellt tal är aldrig negativ: 3² = 9, (−3)² = 9 och 0² = 0. Därför har ekvationen x² = −1 ingen lösning bland de reella talen. Man löser det genom att införa ett nytt tal, den imaginära enheten i, som definieras av

i² = −1

Räknar man med i som med en vanlig bokstav, och byter i² mot −1, följer resten:

• Potenserna av i upprepar sig var fjärde gång: i¹ = i, i² = −1, i³ = i² · i = −i, i⁴ = (i²)² = 1, sedan i⁵ = i igen. Så i¹⁰ = i² = −1, eftersom 10 = 4 · 2 + 2.
• Rötter ur negativa tal: √(−9) = 3i, för (3i)² = 9 · i² = −9. Ekvationen x² + 1 = 0 har lösningarna x = i och x = −i.
• Addition och multiplikation: (3 + 2i) + (1 − i) = 4 + i, och (3 + 2i)(1 − i) = 3 − 3i + 2i − 2i² = 3 − i + 2 = 5 − i. Ett särfall: (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i.

Tal på formen a + bi, med a och b reella, kallas komplexa tal. I 3 + 2i är realdelen 3 och imaginärdelen 2, inte 2i. Alla reella tal är komplexa: 3 = 3 + 0i.

Inte den imaginära enheten: −1 är inte i (i² = −1, men (−1)² = 1), och det finns inget reellt tal x med x² = −1.

Varför det spelar roll

Med i får varje andragradsekvation lösningar. Ekvationen x² + 2x + 5 = 0 ger x = −1 ± √(1 − 5) = −1 ± 2i, och prövar man x = −1 + 2i stämmer det: x² = −3 − 4i, 2x = −2 + 4i, summan med 5 är 0. Se andragradsekvationer med komplexa rötter.

Multiplikation med i är en vridning ett kvarts varv moturs i det komplexa talplanet: 1 → i → −1 → −i → 1. Det är grunden för polär form och för att komplexa tal används för svängningar, växelström och signaler.

• Multiplikation av komplexa tal använder bara i² = −1.
• Konjugatet byter tecken på imaginärdelen, och produkten med konjugatet är reell.

Vanliga missuppfattningar

• “Imaginära tal finns inte.” Namnet är historiskt. i är lika väldefinierat som √2: ett tal med en bestämd egenskap, och man räknar med det efter vanliga regler.
• “√a · √b = √(ab) gäller alltid.” Inte för negativa tal. √(−4) · √(−9) = 2i · 3i = 6i² = −6, medan √36 = 6.
• “Imaginärdelen av 3 + 2i är 2i.” Det är 2. Imaginärdelen är det reella talet framför i.
• “i är en obekant.” i är ett bestämt tal, som π, inte något man ska lösa ut.
• “i² = 1.” Det är −1. Det är i⁴ som är 1.

Vanliga frågor