Vad det är
En olikhet jämför två uttryck med <, ≤, > eller ≥. Till skillnad från en ekvation har den oftast inte ett svar utan många. x < 3 gäller för 2, för 0, för −100 och för 2,999, men inte för 3.
Mängden av alla tal som uppfyller en olikhet kan skrivas som ett intervall:
| Olikhet | Intervall | Ändpunkterna |
|---|---|---|
| 2 ≤ x < 5 | [2, 5) | 2 är med, 5 är inte |
| x > 3 | (3, ∞) | 3 är inte med |
| x ≤ −1 | (−∞, −1] | −1 är med |
| −2 < x < 2 | (−2, 2) | ingen av ändpunkterna |
Hakparentes betyder att ändpunkten ingår (slutet i den änden) och vanlig parentes att den inte gör det (öppet). I svenska läroböcker ser man också vändande hakparentes i stället för vanlig parentes: ]−∞, −1] och ]3, ∞[ betyder samma sak som (−∞, −1] och (3, ∞). Oändligheten ∞ är ingen punkt på tallinjen, så den har alltid en öppen ände.
Några olikheter löst:
- 2x + 1 < 7 ger 2x < 6 och x < 3. Kontroll: x = 2 ger 5 < 7, sant, och x = 3 ger 7 < 7, falskt.
- −2x > 6 ger, när man delar med −2 och vänder tecknet, x < −3. Kontroll: x = −4 ger 8 > 6, sant, och x = −3 ger 6 > 6, falskt.
- |x| < 2 betyder att x ligger mindre än 2 från noll: −2 < x < 2, alltså intervallet (−2, 2).
x = 3 är ingen olikhet utan en ekvation med ett svar. Och 5 ≤ x ≤ 2 är en olikhet utan lösning: inget tal är både minst 5 och högst 2, så den beskriver inget intervall alls.
Varför det spelar roll
Tal som uppfyller ett villkor förekommer överallt: “minst 18 år”, “högst 120 km/h”, “mellan 0 och 100 procent”. Olikheten är det matematiska språket för villkoret och intervallet det för svaret.
- Hur man löser en olikhet och när tecknet vänds står under räknelagar för olikheter.
- Absolutbelopp uttrycker avstånd, och olikheter med belopp, som |x| < 2, blir intervall.
- Ett intervall är en mängd: [2, 5) är de x i de reella talen för vilka 2 ≤ x < 5.
Ekvationslösaren löser olikheter och skriver svaret både som olikhet och som intervall.
Vanliga missuppfattningar
- “≤ och < är samma sak.” De skiljer sig i exakt en punkt. x ≤ 3 innehåller 3, x < 3 gör det inte.
- “Hakparentes och parentes är bara stil.” [2, 5) och [2, 5] har olika innehåll: 5 är med i den andra.
- “Man kan skriva ∞ med hakparentes.” Oändligheten är inget tal och ingår aldrig, så (3, ∞) är rätt och (3, ∞] är fel.
- “Tecknet byter håll vid varje räknesätt.” Det vänds bara när man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal. Att addera eller subtrahera ändrar det inte.
- “Det finns bara några få tal i ett intervall.” Mellan 2 och 3 finns oändligt många tal, till exempel 2,5, 2,01 och 2,999.
Vanliga frågor
Vad betyder x ∈ ℝ?
Att x är ett reellt tal, alltså ett tal på tallinjen. Skriver man x ∈ [2, 5) betyder det att x ligger i
intervallet, alltså 2 ≤ x < 5.
Hur skriver man “alla tal utom 3”?
Det är inte ett enda intervall utan två: (−∞, 3) och (3, ∞), som man binder ihop med unionstecknet:
(−∞, 3) ∪ (3, ∞). Se mängdlärans notation.