Oberoende och beroende händelser

Vad det är

Två händelser A och B är oberoende om vetskapen att A har inträffat inte ändrar sannolikheten för B. Ändrar den sannolikheten är händelserna beroende. Testet är en likhet:

P(A och B) = P(A) · P(B)

Gäller den är händelserna oberoende, annars är de beroende. När P(A) > 0 är det samma sak som att den betingade sannolikheten för B givet A är lika med sannolikheten för B: P(B|A) = P(B).

Oberoende händelser:

• Två myntkast. Att det första blir krona ändrar inte det andra. P(krona båda gångerna) = 1/2 · 1/2 = 1/4.
• Två tärningar. Sexa på båda har sannolikheten 1/6 · 1/6 = 1/36.
• Dragning med återläggning. Kulan läggs tillbaka, så urnan ser likadan ut inför nästa dragning.
• Två händelser i samma tärningskast. A är “jämnt tal”, {2, 4, 6}, och B är “högst 4”, {1, 2, 3, 4}. P(A) = 1/2 och P(B) = 2/3. Båda inträffar för {2, 4}, med sannolikheten 2/6 = 1/3, och 1/2 · 2/3 = 1/3. Händelserna är oberoende fast de hör till samma kast.

Beroende händelser:

• Dragning utan återläggning. Den dragna kulan är borta, så urnan ser annorlunda ut inför nästa dragning; se tabellen nedan.
• Samma tärningskast, andra händelser. A är “jämnt tal” och B är “minst 4”, {4, 5, 6}. Båda inträffar för {4, 6}, med sannolikheten 1/3, men 1/2 · 1/2 = 1/4. Den som får veta att talet är minst 4 vet att chansen för jämnt har stigit från 1/2 till 2/3.
• Oförenliga händelser. “Etta” och “tvåa” i samma kast kan inte inträffa samtidigt, så P(A och B) = 0, som inte är lika med 1/6 · 1/6. Händelserna är beroende: inträffar den ena vet man att den andra inte gjorde det.

Är A och B oberoende är också A och “inte B” oberoende. I exemplet med “jämnt” och “högst 4” är “inte B” = {5, 6}. Båda inträffar för {6}, med sannolikheten 1/6, och 1/2 · 1/3 = 1/6. Sannolikheten för “inte B” är 1 − P(B), se komplementhändelse.

Varför det spelar roll

Oberoendet avgör vilken regel som gäller.

• Att multiplicera. Multiplikationsprincipen P(A och B) = P(A) · P(B) gäller för oberoende händelser. För beroende händelser gäller P(A och B) = P(A) · P(B|A), där den andra faktorn är en betingad sannolikhet.
• Träddiagram. Sannolikheten för en väg genom trädet är produkten av grenarnas sannolikheter, och grenarna i varje steg gäller givet det som hänt innan. Med återläggning är de lika efter varje utfall, utan återläggning ändras de. Sannolikheterna för flera vägar adderas.

En urna har 4 röda och 6 blå kulor, och två kulor dras:

Utan återläggning är P(två röda) = 4/10 · 3/9 = 2/15, inte 4/10 · 4/10. “Minst en röd” räknas enklast som 1 minus sannolikheten för två blå: 1 − 6/10 · 5/9 = 2/3 utan återläggning och 1 − 0,6 · 0,6 = 0,64 med.

Den som inte vet vad den första kulan blev får ändå sannolikheten 4/10 för röd i den andra dragningen: 4/10 · 3/9 + 6/10 · 4/9 = 36/90 = 4/10, summan över de två vägarna enligt lagen om total sannolikhet. Beroendet syns först när man vet vad den första kulan var.

• Stora populationer. Dras en kula ur en urna med miljontals kulor ändras andelarna knappt, och dragning utan återläggning kan räknas som med återläggning. Därför fungerar binomialfördelningen som närmevärde till den hypergeometriska fördelningen när urvalet är litet i förhållande till populationen.
• Säkerhet. Två brandlarm som vart och ett fungerar med sannolikheten 0,9 missar en brand med sannolikheten 0,1 · 0,1 = 0,01, förutsatt att de fungerar oberoende av varandra. Hänger de på samma strömförsörjning faller båda när strömmen går, och sannolikheten att båda missar blir större än 0,01.

Vanliga missuppfattningar

• “Efter fem krona i rad är klave på tur.” Myntkasten är oberoende, så sannolikheten för krona i det sjätte kastet är 1/2 vad som än hänt innan. Sex krona i rad har sannolikheten (1/2)⁶ = 1/64 ≈ 0,016, men det gäller innan första kastet; efter fem kast återstår ett. Tron att utfallen jämnar ut sig kallas spelarens felslut. Att den relativa frekvensen närmar sig sannolikheten efter många kast beror på att avvikelsen späds ut av nya kast, inte på att den rättas till.
• “Sannolikheten är 4/10 i varje dragning, så två röda är 4/10 · 4/10.” Det gäller med återläggning. Utan återläggning är den andra faktorn 3/9 efter en röd, och två röda får sannolikheten 2/15 ≈ 0,133.
• “Oförenliga händelser är oberoende.” Det är två olika begrepp. Oförenliga händelser kan inte inträffa samtidigt, oberoende händelser påverkar inte varandras sannolikhet. Två oförenliga händelser som båda har sannolikhet över 0 är beroende; se också additionsprincipen.
• “Oberoende betyder att händelserna inte har med varandra att göra.” Testet är sannolikheterna, inte om händelserna hör till samma föremål: “jämnt” och “högst 4” i samma kast är oberoende, “jämnt” och “minst 4” är det inte. Och beroende betyder inte att den ena orsakar den andra, bara att sannolikheterna hänger ihop.

Vanliga frågor