Vad det är
F är en primitiv funktion till f på ett intervall om F′(x) = f(x) för varje x i intervallet. Man letar alltså efter en funktion som ger f när den deriveras, och svaret kontrolleras genom att derivera det.
- x² är en primitiv funktion till 2x, eftersom derivatan av x² är 2x.
- x² + 5 och x² − 3 är det också. En konstant har derivatan 0 och syns inte efter deriveringen. På ett intervall skiljer sig två primitiva funktioner till samma f bara med en konstant, så alla kan skrivas x² + C. Talet C kallas integrationskonstanten.
- ∫ 2x dx = x² + C är skrivsättet för hela familjen. Det kallas den obestämda integralen av 2x.
Några par att känna igen. Den högra kolumnen är kontrollen.
| f(x) | En primitiv funktion F(x) | F′(x) |
|---|---|---|
| 3x² | x³ | 3x² |
| x | x²/2 | x |
| 5 | 5x | 5 |
| cos x | sin x | cos x |
| eˣ | eˣ | eˣ |
| 1/x, x > 0 | ln x | 1/x |
Inte primitiva funktioner:
- x² till f(x) = x. Derivatan av x² är 2x, inte x. Till x är x²/2 en primitiv funktion.
- 2x till f(x) = x². Derivatan av 2x är 2. Till x² är x³/3 en primitiv funktion.
En funktion som är kontinuerlig på ett intervall har en primitiv funktion där, men den går inte alltid att skriva med formel. Till e^(−x²) finns en primitiv funktion, men ingen formel för den byggd av potenser, rötter, exponentialfunktioner, logaritmer och trigonometriska funktioner.
Varför det spelar roll
Den bestämda integralen räknas med en primitiv funktion. Om f är kontinuerlig på [a, b] och F är en primitiv funktion till f är ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), se bestämd integral. Med F(x) = x² blir ∫₁³ 2x dx = 3² − 1² = 8. Vilken av de primitiva funktionerna man väljer påverkar inte svaret, eftersom C finns med i både F(b) och F(a) och tar ut sig. Varför det fungerar visar analysens huvudsats.
- Differentialekvationer. Lösningarna till y′ = f(x) är de primitiva funktionerna till f, y = F(x) + C, se differentialekvationen y′ = f(x). Ett villkor väljer ut en av dem: y′ = 2x och y(0) = 5 ger y = x² + C med C = 5, alltså y = x² + 5.
- Rörelse. Läget är en primitiv funktion till hastigheten, på samma sätt som hastigheten är derivatan av läget. Med v(t) = 3t² m/s och läget 5 m vid t = 0 blir s(t) = t³ + 5, och efter 2 s är läget 13 m.
- Reglerna för de vanliga funktionerna är deriveringsreglerna lästa baklänges: potenser, sin x, cos x, 1/x, eˣ och konstanter.
Integralkalkylatorn tar fram primitiva funktioner, och med derivatakalkylatorn kan du kontrollera dem.
Vanliga missuppfattningar
- “Det finns bara en primitiv funktion.” Det finns oändligt många, och på ett intervall skiljer de sig med en konstant. Därför skrivs + C i det allmänna svaret. I en bestämd integral tar konstanten ut sig.
- “Primitiv funktion och integral är samma sak.” F är en funktion. Den obestämda integralen ∫ f(x) dx är hela familjen F(x) + C. Den bestämda integralen ∫ₐᵇ f(x) dx är ett tal, 8 i exemplet ovan.
- “Till en produkt tar man produkten av de primitiva funktionerna.” Till x · x = x² är x³/3 en primitiv funktion. Produkten (x²/2) · (x²/2) = x⁴/4 har derivatan x³, inte x².
- “Till 1/x är ln x en primitiv funktion, punkt.” Det gäller för x > 0. 1/x är definierad också för x < 0, där ln x saknas, och där är ln(−x) en primitiv funktion. Båda fallen skrivs ln|x|, se primitiv funktion till 1/x.
Vanliga frågor
Hur kontrollerar jag att F är en primitiv funktion till f?
Derivera F. Får du f är F en primitiv funktion till f. F(x) = x³/3 + 2x har derivatan x² + 2 och är alltså en
primitiv funktion till x² + 2.
Varför står + C med ibland och ibland inte?
Svaret på en obestämd integral är en familj av funktioner, och C står för vilken medlem som helst. Svaret på en
bestämd integral är ett tal, och där tar C ut sig. Ett villkor ger C ett värde: F(x) = x² + C och F(0) = 5 ger
C = 5.
Har varje funktion en primitiv funktion?
Varje funktion som är kontinuerlig på ett intervall har det. En funktion med ett hopp har det inte:
f(x) = 0 för x < 1 och f(x) = 1 för x ≥ 1 saknar primitiv funktion på varje intervall med punkter på båda sidor
om x = 1. Och där en primitiv funktion finns kan formeln saknas, som för e^(−x²). Då räknas en bestämd integral
numeriskt, till exempel med trapetsregeln.