Andraderivata

Vad det är

Andraderivatan f″ får man genom att derivera två gånger: först f till f′, sedan f′ till f″. f′(x) säger hur brant grafen lutar i x, och f″(x) säger hur lutningen förändras där. Andraderivatan av y = f(x) skrivs f″(x), y″ eller d²y/dx².

Exempel: f(x) = x³ − 3x har f′(x) = 3x² − 3 och f″(x) = 6x.

Tecknet på f″ säger åt vilket håll grafen böjer:

• Där f″ > 0 växer lutningen, och grafen böjer uppåt som en skål. Den kallas då konvex.
• Där f″ < 0 minskar lutningen, och grafen böjer nedåt som ett tak. Den kallas då konkav.
• Är f″ = 0 på ett helt intervall böjer grafen inte alls där. f(x) = 3x + 1 har f′ = 3 och f″ = 0, och grafen är en rät linje.

En punkt där f″ byter tecken, så att grafen går från att böja åt ena hållet till att böja åt det andra, kallas en inflexionspunkt. x³ − 3x har en i (0, 0), där f″ går från negativ till positiv.

Några andraderivator att känna igen:

Ingen inflexionspunkt: f(x) = x⁴ har f″(x) = 12x². Den är 0 i x = 0 men positiv på båda sidor, så grafen böjer uppåt också genom origo.

Varför det spelar roll

• Max och min. I en stationär punkt, där f′(a) = 0, avgör tecknet på f″(a) om punkten är en minpunkt (f″(a) > 0) eller en maxpunkt (f″(a) < 0); se andraderivatatestet. När f″(a) = 0 ger testet inget svar, och förstaderivatatestet tar över. Exempel: g(x) = x² − 4x + 1 har g′(x) = 2x − 4, som är 0 för x = 2. Där är g″(x) = 2 > 0, så x = 2 är en minpunkt med g(2) = −3. Hur de stationära punkterna hittas står på sidan om extrempunkter.
• Extremvärdesproblem. En rektangel med omkretsen 40 m har sidorna x och 20 − x och arean A(x) = 20x − x². A′(x) = 20 − 2x är 0 för x = 10, och A″(x) = −2 < 0 visar att det är ett maximum: arean är som störst 100 m².
• Acceleration. Om s(t) är läget är s′(t) hastigheten och s″(t) accelerationen, se acceleration som derivata. För s(t) = t³ − 6t² + 9t, i meter och sekunder, är s′(t) = 3t² − 12t + 9 och s″(t) = 6t − 12. Vid t = 1 är hastigheten 0 och accelerationen −6 m/s², och läget har ett lokalt maximum, 4 m. Vid t = 3 är hastigheten 0 och accelerationen 6 m/s², och läget har ett lokalt minimum, 0 m.
• Närmevärden. Taylorpolynomet av grad 2 använder f″(a): f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)/2 · (x − a)².

Derivatakalkylatorn visar både f′ och f″, och i grafräknaren syns hur grafen böjer.

Vanliga missuppfattningar

• “f″(x) är samma sak som (f′(x))².” f″ betyder två deriveringar. För f(x) = x³ är f″(x) = 6x, men (f′(x))² = (3x²)² = 9x⁴. På samma sätt är d²y/dx² något annat än (dy/dx)².
• “Positiv andraderivata betyder att funktionen växer.” f″ säger hur grafen böjer, inte åt vilket håll den går. f(x) = x² har f″(x) = 2 > 0 överallt men avtar för x < 0. Omvänt växer ln x för alla x > 0, trots att f″(x) = −1/x² är negativ.
• “Om f″(a) = 0 är a en inflexionspunkt.” f″ måste också byta tecken. f(x) = x⁴ har f″(0) = 0 men ingen inflexionspunkt i 0.
• “Andraderivatan av en rät linje är linjens lutning.” Lutningen är f′. För f(x) = 3x + 1 är f′ = 3 och f″ = 0, eftersom en rät linje inte böjer.

Vanliga frågor