Vad det är
En funktion f är deriverbar i punkten a om ändringskvoten (f(a + h) − f(a))/h har ett ändligt gränsvärde när h går mot 0. Gränsvärdet är derivatan f′(a), se derivatans definition. I grafen syns det som en tangent i punkten som inte är lodrät. f är deriverbar på ett intervall om den är deriverbar i varje punkt i intervallet.
Gränsvärdet finns bara om kvoten närmar sig samma tal från höger (h > 0) och från vänster (h < 0). Är de två ensidiga gränsvärdena olika saknas derivatan.
Exempel på deriverbara funktioner:
- f(x) = x². I a = 3 är kvoten ((3 + h)² − 9)/h = 6 + h, som går mot 6. Funktionen är deriverbar i varje punkt, med f′(x) = 2x.
- Polynom, sin x, cos x och eˣ är deriverbara för alla reella x.
- En funktion som byter formel. f(x) = x² för x ≤ 1 och f(x) = 2x − 1 för x > 1. I x = 1 är båda uttrycken 1, och lutningen är 2 från båda hållen: derivatan av x² är 2 där, och derivatan av 2x − 1 är 2. f är deriverbar i 1 med f′(1) = 2.
Deriverbarheten brister i en punkt på tre vanliga sätt:
- En spets. f(x) = |x| i a = 0: kvoten är |h|/h, som är 1 från höger och −1 från vänster. De ensidiga gränsvärdena är olika, så derivatan saknas.
- En lodrät tangent. f(x) = x^(1/3), kubikroten ur x, i a = 0: kvoten är h^(1/3)/h = h^(−2/3), som är 100 för h = 0,001 och växer utan gräns när h går mot 0. Grafen har en lodrät tangent i 0, men dess lutning är inget tal, så funktionen är inte deriverbar där.
- Ett hopp. En funktion som inte är kontinuerlig i a är inte deriverbar där. f(x) = x för x < 1 och f(x) = x + 1 för x ≥ 1 hoppar vid x = 1. Från vänster är kvoten (h − 1)/h, som är 11 för h = −0,1 och 101 för h = −0,01, och den växer utan gräns.
Varför det spelar roll
- Deriverbar ger kontinuerlig. Är f deriverbar i a är f(a + h) − f(a) = h · (f(a + h) − f(a))/h, och produkten går mot 0 · f′(a) = 0 när h går mot 0. Alltså går f(a + h) mot f(a), och f är kontinuerlig i a. Omvändningen gäller inte: |x| är kontinuerlig i 0 men inte deriverbar där.
- Deriveringsreglerna gäller där funktionen är deriverbar. f(x) = |x| har f′(x) = 1 för x > 0 och f′(x) = −1 för x < 0, men ingen derivata i 0.
- Tangent och närmevärde. Där f är deriverbar finns en tangent, och nära punkten är tangenten ett närmevärde till funktionen.
- Extrempunkter. Ett minimum eller maximum behöver inte ha f′ = 0: f(x) = |x| har sitt minsta värde, 0, i x = 0, där derivatan saknas. Den som letar extrempunkter undersöker därför både de stationära punkterna och punkterna där funktionen inte är deriverbar.
Rita funktionen i grafräknaren: spetsar, hopp och lodräta tangenter syns som punkter där grafen saknar en entydig lutning. Derivatakalkylatorn visar derivatan där den finns.
Vanliga missuppfattningar
- “Kontinuerlig betyder deriverbar.” |x| är kontinuerlig i 0 men har en spets där. Sambandet gäller åt andra hållet, från deriverbar till kontinuerlig.
- “Om jag kan derivera uttrycket är funktionen deriverbar.” Potensregeln ger för f(x) = x^(1/3) derivatan (1/3) · x^(−2/3) för x ≠ 0, men inget värde i x = 0. Formeln för derivatan säger ingenting om de punkter där den saknar värde.
- “En lodrät tangent ger en oändlig derivata, så derivatan finns.” Derivatan är ett tal. Vid en lodrät tangent finns inget sådant tal, och funktionen är inte deriverbar.
- “I en spets är derivatan medelvärdet av lutningarna.” För |x| i 0 är lutningarna −1 och 1 och medelvärdet 0, men derivatan saknas: kvoten är 1 eller −1 för varje h ≠ 0 och går inte mot 0.
Vanliga frågor
Hur kontrollerar jag deriverbarhet där en funktion byter formel?
Kontrollera först att funktionen är kontinuerlig i skarven och sedan att derivatan är densamma från vänster och
från höger. f(x) = x² för x ≤ 2 och f(x) = 4x − 4 för x > 2: båda uttrycken är 4 i x = 2 och båda derivatorna är
4, så f är deriverbar i 2. g(x) = x² för x ≤ 2 och g(x) = 3x − 2 för x > 2: båda uttrycken är 4 i x = 2, men
derivatorna är 4 och 3. g är kontinuerlig men inte deriverbar i 2.
Är f(x) = |x| deriverbar?
I varje punkt utom x = 0. För x > 0 är f(x) = x med derivatan 1, och för x < 0 är f(x) = −x med derivatan −1.
I x = 0 har grafen en spets, och där saknas derivatan.
Vad betyder det att en funktion är deriverbar på ett intervall?
Att den är deriverbar i varje punkt i intervallet. Grafen har där inga spetsar, hopp eller lodräta tangenter.