Kontinuitet

Vad det är

En funktion f är kontinuerlig i punkten a om tre saker gäller: f(a) finns, gränsvärdet av f(x) när x går mot a finns, och de två är lika, alltså lim f(x) = f(a). Gränsvärden förklaras på sidan gränsvärde. En funktion är kontinuerlig på ett intervall om den är kontinuerlig i varje punkt i intervallet.

Exempel på kontinuerliga funktioner:

• f(x) = x² är kontinuerlig i varje punkt. I a = 3 är gränsvärdet 9 och f(3) = 9.
• Alla polynom, och sin x, cos x och eˣ.
• f(x) = |x| är kontinuerlig också i 0: gränsvärdet är 0 från båda hållen och f(0) = 0.
• f(x) = √x är kontinuerlig överallt där den är definierad, alltså för x ≥ 0 (i 0 räknas bara gränsvärdet från höger, eftersom funktionen saknar värden till vänster).

Exempel där kontinuiteten brister i en punkt:

• Hål: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) saknar värde i x = 1. För x ≠ 1 är f(x) = x + 1, så gränsvärdet i 1 är 2, men f(1) finns inte. Sätter man f(1) = 2 blir funktionen kontinuerlig; ett sådant avbrott kallas hävbart.
• Fel värde: f(x) = 1 för x ≠ 0 och f(0) = 0. Gränsvärdet i 0 är 1 men funktionsvärdet är 0.
• Hopp: f(x) = x för x < 1 och f(x) = x + 1 för x ≥ 1. Från vänster närmar sig f(x) talet 1, från höger talet 2, så gränsvärdet i 1 finns inte.
• Golvfunktionen ⌊x⌋ hoppar med 1 vid varje heltal. I x = 2 är värdet från vänster 1 och från höger 2, och f(2) = 2.

Varför det spelar roll

Kontinuitet är villkoret som många satser och metoder bygger på.

• Räkna med insättning. För en kontinuerlig funktion får man gränsvärdet genom att sätta in: lim (x² + 1) när x går mot 3 är 3² + 1 = 10. Det är därför de flesta gränsvärden i skolan går att lösa utan särskilda knep, och L’Hôpitals regel behövs först när insättningen ger 0/0.
• Derivatan. En funktion som är deriverbar i en punkt är kontinuerlig där, så kontinuitet är ett krav för att ändringskvoten i derivatans definition ska få ett gränsvärde. Omvändningen gäller inte, se nedan.
• Satsen om mellanliggande värden. Om f är kontinuerlig på [a, b] antar f varje värde mellan f(a) och f(b). Är f(a) och f(b) av olika tecken finns alltså ett nollställe däremellan. Exempel: f(x) = x³ + 4x² − 10 har f(1) = −5 och f(2) = 14, så det finns en rot mellan 1 och 2 (den ligger vid ungefär 1,365). Bisektionsmetoden utnyttjar just detta för att halvera intervallet om och om igen.
• Att rita kurvor. I grafräknaren syns avbrotten som hopp, hål eller lodräta asymptoter.

Vanliga missuppfattningar

• “Kontinuerlig betyder att man kan rita grafen utan att lyfta pennan.” Som bild över ett intervall fungerar det, men det är inte definitionen. Funktionen 1/x är kontinuerlig i varje punkt där den är definierad, alltså för alla x ≠ 0; grafen har två delar eftersom 0 inte hör till definitionsmängden.
• “Kontinuerlig betyder deriverbar.” Nej. |x| är kontinuerlig i 0 men har ingen derivata där: lutningen är −1 till vänster och 1 till höger. Det omvända gäller däremot: deriverbar i en punkt ger kontinuerlig där.
• “Om gränsvärdet finns är funktionen kontinuerlig.” Inte nödvändigtvis. I (x² − 1)/(x − 1) finns gränsvärdet 2 i x = 1, men funktionen har inget värde där. Gränsvärdet måste också vara lika med funktionsvärdet.
• “Bråk med x i nämnaren är diskontinuerliga.” Funktionen är kontinuerlig överallt där den är definierad. Avbrottet ligger i punkten där nämnaren är 0, som inte tillhör definitionsmängden.

Vanliga frågor