Vad det är
En differentialekvation är en ekvation där det obekanta är en funktion och där funktionens derivata ingår. En lösning är en funktion som gör ekvationen sann för varje x när den sätts in. Ordningen är den högsta derivatan i ekvationen: y′ = 2y har ordning 1 och y″ + y = 0 har ordning 2.
Tre exempel med sina lösningar:
- y′ = 3x². Lösningarna är y = x³ + C. Derivatan av x³ + C är 3x² vilket värde C än har.
- y′ = 2y. Lösningarna är y = Ce^(2x). För C = 3 är y = 3e^(2x) och y′ = 6e^(2x) = 2y.
- y″ = −y. Lösningarna är y = A cos x + B sin x. För y = cos x är y′ = −sin x och y″ = −cos x = −y.
Varje exempel har en hel familj av lösningar, eftersom konstanterna C, A och B kan väljas fritt. Ett begynnelsevillkor ger värdet på y, och för andra ordningen också på y′, i en punkt. En ekvation av första ordningen behöver ett villkor och en av andra ordningen två, och med dem väljs en lösning ut: y′ = 2y och y(0) = 3 ger 3 = Ce⁰ = C, alltså y = 3e^(2x).
Inte differentialekvationer:
- x² − 5x + 6 = 0. Det obekanta är ett tal, x = 2 eller x = 3, och ingen derivata ingår.
- y = 2x + 1. Det är en funktion, inte en ekvation som innehåller dess derivata.
Differentialekvationer beskriver förlopp där förändringstakten beror på storheten själv eller på tiden:
| Förlopp | Differentialekvation | Lösning |
|---|---|---|
| Något växer med 3 % av mängden per tidsenhet | y′ = 0,03y | y = Ce^(0,03x) |
| Kaffe på 90 °C svalnar i ett rum på 20 °C, med Newtons avsvalningslag som modell (t i minuter) | T′ = −0,1(T − 20) | T = 20 + 70e^(−0,1t) |
| Ett radioaktivt ämne sönderfaller | N′ = −kN, k > 0 | N = N₀e^(−kt) |
| Fritt fall utan luftmotstånd | v′ = g | v = v₀ + gt |
Enligt modellen är kaffet 20 + 70e^(−1) ≈ 45,8 °C efter 10 minuter.
Att verifiera en lösning. Ofta lyder uppgiften inte “lös” utan “visa att y = … är en lösning”. Derivera y, sätt in y och derivatorna i ekvationen och se om leden blir lika för varje x.
- Är y = 5e^(3x) en lösning till y′ = 3y? y′ = 15e^(3x) och 3y = 15e^(3x). Leden är lika, så ja.
- Är y = x² en lösning till y′ = 2y? y′ = 2x men 2y = 2x². Leden är lika för x = 0 och x = 1 men inte för varje x, så nej.
- Är y = sin 2x en lösning till y″ + 4y = 0? y′ = 2 cos 2x och y″ = −4 sin 2x, så y″ + 4y = −4 sin 2x + 4 sin 2x = 0. Ja.
Varför det spelar roll
Förloppen i tabellen har en sak gemensamt: man vet hur något förändras och söker hur det ser ut över tid. Typerna med egna sidor:
- y′ = f(x) löses med en primitiv funktion.
- y′ = ky ger exponentiell tillväxt och exponentiellt avtagande, y = Ce^(kx).
- Separabla differentialekvationer löses genom att samla y på ena sidan och x på den andra och integrera.
- Linjära differentialekvationer av första ordningen, y′ + ay = f(x), löses med en integrerande faktor.
- Andra ordningen och den inhomogena beskriver bland annat svängningar.
- Begränsad tillväxt och logistisk tillväxt är modeller vars differentialekvationer har lösningar med e.
Saknas en formel för lösningen räknas den fram i små steg, som med Eulers metod.
Vanliga missuppfattningar
- “En differentialekvation löses som en vanlig ekvation, genom att flytta termer och dela.” Svaret är en funktion, eller en familj av funktioner, och inte ett tal. y′ = 2y löses inte genom att dela med y′.
- “Man integrerar båda leden som de står.” Från y′ = 2y följer inte y = 2xy + C. Integralen av 2y med avseende på x är inte 2xy, eftersom y är en funktion av x och ingen konstant. Hur y och x skiljs åt visar sidan om separabla differentialekvationer.
- “Konstanten läggs till sist.” För y′ = 2y är y = Ce^(2x) rätt och y = e^(2x) + C fel. Med C = 1: y = e^(2x) + 1 har y′ = 2e^(2x), men 2y = 2e^(2x) + 2.
- “Det finns bara en lösning.” Utan villkor finns en hel familj: y′ = 2y har en lösning för varje värde på C. Villkoret y(0) = 3 pekar ut y = 3e^(2x).
- “Lösningen går alltid att skriva som en formel.” Många differentialekvationer har lösningar som inte går att skriva med de vanliga funktionerna, och då räknas de fram numeriskt.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan allmän och partikulär lösning?
Den allmänna lösningen är hela familjen med sina konstanter, som y = Ce^(2x). En partikulär lösning är en enskild
funktion ur familjen, som y = 3e^(2x), utvald av ett begynnelsevillkor. För en linjär differentialekvation har den
allmänna lösningen lika många konstanter som ordningen.
Hur ser jag ordningen?
Titta på den högsta derivatan: y′ ger första ordningen och y″ andra. y′ + y² = x är av första ordningen trots
kvadraten, eftersom ordningen räknar derivator och inte potenser.
Hur verifierar jag att en funktion är en lösning?
Derivera funktionen, sätt in den och derivatorna i ekvationen och förenkla. Blir vänsterledet lika med
högerledet för varje x är funktionen en lösning. Ett begynnelsevillkor kontrolleras genom att sätta in det givna
x-värdet.