Vektor

Vad det är

En vektor beskriver en förflyttning eller en storhet som har både storlek och riktning. Man ritar den som en pil. I koordinatform skrivs den (x, y), där x är förflyttningen i x-led och y i y-led. Vektorn (3, 4) är 3 åt höger och 4 uppåt.

Två vektorer är lika om de har samma längd och samma riktning, var pilen än börjar. Pilen som går från (0, 0) till (3, 4) och pilen från (1, 1) till (4, 5) är samma vektor (3, 4).

Exempel:

• Förflyttning: 3 m öster och 4 m norr är (3, 4) med längden √(3² + 4²) = 5 m.
• Kraft: 10 N åt höger är en vektor, för riktningen spelar roll.
• Hastighet: 50 km/h norrut är en vektor; farten 50 km/h är bara dess storlek.
• Mellan två punkter: från A(1, 2) till B(4, 6) går vektorn (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4).

Det som inte är en vektor:

• Temperatur, massa och tid har bara storlek. 20 °C eller 5 kg har ingen riktning och kallas skalärer.
• En punkt (3, 4) anger en plats; vektorn (3, 4) anger en förflyttning. De skrivs likadant men är olika saker.
• Ett tal som längden 5 är inte vektorn (3, 4), även om det är dess längd. Vektorerna (3, 4) och (4, 3) har samma längd men olika riktning, så de är olika vektorer.

Varför det spelar roll

Vektorer är språket för allt som har riktning: fysikens krafter och rörelser, geometrins förflyttningar. Man räknar med dem i koordinatform:

• Längd: |(3, 4)| = 5.
• Addition: (2, 1) + (1, 3) = (3, 4).
• Vektor gånger tal: 2 · (2, 1) = (4, 2).
• Skalärprodukt: (2, 1) · (1, 3) = 2 · 1 + 1 · 3 = 5.
• Vinkeln mellan två vektorer ur skalärprodukten.
• Vektorprojektion.

Vanliga missuppfattningar

• “Vektorn är pilen på just det stället.” Pilen kan flyttas utan att vektorn ändras, så länge längd och riktning behålls.
• “Längden av a + b är längden av a plus längden av b.” Inte i allmänhet. (3, 0) + (0, 4) = (3, 4) har längden 5, inte 3 + 4 = 7. Likhet gäller bara när vektorerna pekar åt samma håll.
• “Negativ vektor betyder negativ längd.” Längden är aldrig negativ. −(3, 4) = (−3, −4) pekar åt motsatt håll och har längden 5.

Vanliga frågor