Regelbunden tetraeders volym

Formeln

• V = a³√2 / 12

a är kanten, densamma för alla sex kanter i en regelbunden tetraeder: pyramiden vars fyra sidor är likadana liksidiga trianglar. √2 / 12 ≈ 0,1179, så volymen är lite under en åttondel av kuben på samma kant.

Räkneexempel

En kant på 3 cm: V = 27 · 1,4142 / 12 = 3,18 cm³. En tetraedertärning med 2 cm kanter rymmer 8 · 1,4142 / 12 ≈ 0,94 cm³, och en kubtärning med samma kant åtta gånger så mycket, och därför känns den fyrsidiga tärningen så liten.

Varifrån √2 kommer

En tetraeder är en pyramid, så V = Bh / 3. Basen är en liksidig triangel med arean a²√3 / 4. Toppen sitter rakt över basens tyngdpunkt, som ligger a / √3 från varje hörn, och Pythagoras sats ger höjden: h = √(a² − a² / 3) = a√(2/3). Multiplicerat blir V = (a²√3 / 4)(a√2 / √3) / 3 = a³√2 / 12. Basens √3 förkortas mot höjdens √3 och √2 är vad som blir kvar.

Kanten ur en volym

Vänt på det är a = ∛(12V / √2) = ∛(6√2 · V). En tetraeder som rymmer 100 cm³ har kanten ∛848 ≈ 9,5 cm.

Vanliga misstag

• Att använda kubens volym, a³. Tetraedern är ungefär 12 % av den.
• Att ta en sidas area som bas och glömma tredjedelen. Bh / 3, som för varje pyramid.
• Att använda sidohöjden som h. Höjden går ner till tyngdpunkten, inte till en kant.

Vanliga frågor