Stympad kons volym

Formeln

• V = πh(R² + Rr + r²) / 3

R är bottencirkelns radie, r toppcirkelns, och h höjden, det vinkelräta avståndet mellan de två. En hink, en lampskärm och en blomkruka är stympade koner.

Räkneexempel

R = 5, r = 3 och h = 6 cm: V = π · 6 · (25 + 15 + 9) / 3 = π · 6 · 49 / 3 = 98π ≈ 307,9 cm³. En hink som är 30 cm tvärs över upptill, 20 nedtill och 30 cm djup rymmer π · 30 · (225 + 150 + 100) / 3 = 4 750π ≈ 14 900 cm³, ungefär 15 liter.

Två gränser

Med r = 0 krymper toppen till en punkt och formeln blir πR²h / 3, konen. Med r = R är sidorna lodräta och den blir πR²h, cylindern. Den stympade konen ligger mellan de två, och mellantermen Rr är det som bär den från den ena till den andra.

Varifrån Rr kommer

En stympad kon är en stor kon med en liten kon avskuren upptill. Att skriva de två konernas volymer och subtrahera, med den lilla konens höjd funnen ur likformiga trianglar, ger πh(R³ − r³) / (3(R − r)), och R³ − r³ faktoriseras som (R − r)(R² + Rr + r²). (R − r) förkortas bort och de tre termerna är vad som blir kvar.

Vanliga misstag

• Att tappa mellantermen. (R² + r²) blir för litet: för exemplet ger det 68π i stället för 98π.
• Att använda sidolinjen som h. Höjden är det vinkelräta avståndet mellan cirklarna; sidolinjen är längre.
• Att ta medelvärdet av radierna. π · ((R + r) / 2)² · h är en cylinder med medelradien, och mindre än den stympade konen.

Vanliga frågor