Stympad kons area

Formeln

• A = π(R² + r²) + π(R + r) · l

R och r är botten- och toppcirkelns radier och l sidolinjen, den sneda sidans längd mätt längs ytan. Den första parentesen är de två plana cirklarna; den andra termen är den välvda sidan, som för en kon är πRl och för en stympad kon har båda radierna.

Räkneexempel

R = 5, r = 2 och l = 6,7 cm: cirklarna är π(25 + 4) = 29π och sidan π · 7 · 6,7 = 46,9π, så A = 75,9π ≈ 238,4 cm². En lampskärm med samma mått, öppen i båda ändar, behöver bara sidan: 46,9π ≈ 147 cm² tyg plus sömmar.

Sidolinjen ur höjden

En stympad kon mäts oftast på sin höjd h, inte sin sidolinje. De två förenas av Pythagoras sats över skillnaden i radie: l = √(h² + (R − r)²). För h = 6 och radierna 5 och 2 är l = √(36 + 9) = √45 ≈ 6,7, och det är därifrån exemplets sidolinje kom.

Varifrån π(R + r)l kommer

Utrullad är den välvda sidan ett band av en cirkelring. Konens mantelarea är πRL med L hela sidolinjen; skärs toppkonen med sidolinjen L − l och radien r bort återstår πRL − πr(L − l), och likformiga trianglar gör om det till π(R + r)l. Sidans area är medelomkretsen, π(R + r), gånger sidolinjen.

Vanliga misstag

• Att använda höjden i stället för sidolinjen. Sidan är längre än den stympade konen är hög, och arean blir för liten.
• Att räkna båda cirklarna när den ena är öppen. En hink har botten och inget lock: πR² + π(R + r)s, eller med den lilla cirkeln om hinken står på sin smala ände.
• Att blanda ihop den med volymen. πh(R² + Rr + r²) / 3 är volymen, med höjden, inte sidolinjen.

Vanliga frågor