Torusens volym

Formeln

• V = 2π²Rr²

R är den stora radien, från hålets mitt till rörets mitt, och r den lilla radien, själva rörets radie. En ringmunk, ett däck och en livboj är torusar.

Räkneexempel

R = 5 och r = 2 cm: V = 2π² · 5 · 4 = 40π² ≈ 394,8 cm³. En cykelslang med R = 32 cm och r = 1,5 cm rymmer 2π² · 32 · 2,25 ≈ 1 420 cm³, ungefär 1,4 liter luft.

Varför en produkt

Skär röret var som helst så är tvärsnittet en cirkel med arean πr². Dess mittpunkt färdas runt en cirkel med radien R, en sträcka på 2πR, och volymen är arean gånger den sträckan: πr² · 2πR = 2π²Rr². Det är Pappos sats, och det är samma resonemang som för en cylinder, vars cirkel färdas längs en rät linje i stället.

Gäller när

Formeln kräver R ≥ r, så att röret inte går genom sig självt. Vid R = r sluter sig hålet till en punkt, en horntorus, och formeln gäller fortfarande; under det överlappar kroppen sig själv och produkten räknar för mycket.

Vanliga misstag

• Att mäta R till ytterkanten. R går till rörets mitt. Ur ytterradien R₁ och innerradien R₂ är R = (R₁ + R₂) / 2 och r = (R₁ − R₂) / 2.
• Att kvadrera fel radie. Det är rörradien r som kvadreras; R förekommer en gång.
• Att ta π² för 2π. π² ≈ 9,87, inte 6,28.

Vanliga frågor