Välj vilken enhet dina längder är i. Areor får då kvadratenheten och volymer kubikenheten; ingenting räknas om.
- P ≈ π · (3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)))
a och b är halvaxlarna, halva den längsta och halva den kortaste bredden. Formeln är Ramanujans första approximation från 1914, som anges under formeln; den är inte exakt, och ingen formel med ändligt många rötter och produkter är det, eftersom den exakta omkretsen är en elliptisk integral.
Gäller när ellipsen inte är extremt platt. För b / a ner till ungefär 0,2 är felet under 0,1 %; när b närmar sig 0 underskattar formeln, med 0,4 % i gränsen.
Räkneexempel
Halvaxlar på 5 och 3 cm: 3(5 + 3) = 24, (15 + 3)(5 + 9) = 18 · 14 = 252, √252 = 15,87, och P ≈ π · (24 − 15,87) = π · 8,13 ≈ 25,5 cm. Den exakta omkretsen, ur integralen, är 25,527 cm; approximationen slår fel med mindre än en hundradels procent.
Cirkeln som kontroll
Med a = b = r är parentesen 6r − √(4r · 4r) = 6r − 4r = 2r, och P = 2πr: cirkelns omkrets kommer ut exakt. Varje föreslagen ellipsformel måste klara det provet, och den vanliga felaktiga, π(a + b), klarar det också och driver sedan till 10 % för lågt för en platt ellips, och därför är Ramanujans den som är värd att minnas.
Arean är πab, exakt och enkel, eftersom att dra ut en cirkel skalar areor med en konstant. Omkretsen skalar inte så: en utdragen cirkels kant dras ut mer på vissa ställen än andra, och att summera den ger en integral utan sluten form.
Vanliga misstag
- Att använda π(a + b). Rätt för en cirkel, 10 % för lågt för en ellips 10 : 1.
- Att använda hela axlarna. a och b är halvor, som i areaformeln.
- Att läsa resultatet som exakt. Det är en mycket god approximation; sidan säger det.
Vanliga frågor
Finns det en bättre approximation?
Ramanujans andra, med h = ((a − b) / (a + b))², är bättre ändå; den här är noggrann nog för allt som
mäts med måttband.
Varifrån kommer det exakta värdet?
Den fullständiga elliptiska integralen av andra slaget, 4a · E(e), beräknad numeriskt. En räknare med
funktionen ger den; en formel gör det inte.
Vad är a och vad är b?
a är den stora halvaxeln, den större. Formeln är symmetrisk, så ett byte ändrar ingenting.