Vad det är
Ett koordinatsystem i planet består av två tallinjer som korsar varandra i rät vinkel: den vågräta x-axeln och den lodräta y-axeln. De möts i origo, punkten (0, 0). Längs axlarna står talen med lika stora steg, positiva åt höger och uppåt, negativa åt vänster och nedåt.
En punkt anges med ett koordinatpar (x, y). Det första talet, x-koordinaten, säger hur långt åt höger (positivt) eller vänster (negativt) från origo punkten ligger. Det andra talet, y-koordinaten, säger hur långt upp (positivt) eller ner (negativt).
- (3, −2) ligger tre steg åt höger och två steg ner.
- (−2, 3) ligger två steg åt vänster och tre steg upp. Det är en annan punkt än (3, −2): ordningen spelar roll.
- (4, 0) ligger på x-axeln, eftersom y = 0.
- (0, −3) ligger på y-axeln, eftersom x = 0.
- (0, 0) är origo.
Axlarna delar planet i fyra kvadranter, numrerade moturs från den övre högra:
| Kvadrant | x | y | Exempel |
|---|---|---|---|
| I | positivt | positivt | (2, 3) |
| II | negativt | positivt | (−2, 3) |
| III | negativt | negativt | (−2, −3) |
| IV | positivt | negativt | (2, −3) |
En punkt på en axel, som (4, 0), ligger inte i någon kvadrant.
Strecken på en axel står på lika avstånd, och varje steg har ett värde, axelns skala. Axlarna får ha olika skala. För punkterna (10, 500) och (20, 800) passar det att låta varje steg på x-axeln vara 5 och varje steg på y-axeln 100, så att båda punkterna får plats.
Det finns fler sätt att ange en punkt. I rummet behövs tre koordinater, (x, y, z), och med polära koordinater anges en punkt i planet med sitt avstånd från origo och en vinkel.
Varför det spelar roll
Koordinatsystemet kopplar ihop geometri och algebra: en punkt blir två tal och en figur blir en ekvation.
- Grafen till en funktion är alla punkter (x, f(x)). För f(x) = 2x + 1 är (0, 1), (1, 3) och (2, 5) punkter på en rät linje, som räta linjens ekvation beskriver.
- Avståndet mellan två punkter, till exempel (1, 2) och (4, 6), är √(3² + 4²) = 5, och mittpunkten mellan dem är (2,5; 4).
- Cirkeln med medelpunkt i origo och radien 5 består av punkterna där x² + y² = 25, till exempel (3, 4); se cirkelns ekvation.
- En vektor skrivs i koordinatform som två tal, och polära koordinater räknas om till x och y med koordinatomvandlaren.
Rita punkterna (1, 2) och (4, 6) i grafräknaren och läs av dem i rutnätet.
Vanliga missuppfattningar
- “(3, 5) och (5, 3) är samma punkt.” Ordningen avgör. Det första talet är x: (3, 5) ligger tre steg åt höger och fem upp, (5, 3) fem åt höger och tre upp.
- “Punkter med x = 0 ligger på x-axeln.” Det är tvärtom. Punkter på x-axeln har y = 0, och punkter på y-axeln har x = 0. (0, 3) ligger på y-axeln.
- “Kvadranterna numreras medurs, som på en klocka.” De numreras moturs: I uppe till höger, II uppe till vänster, III nere till vänster och IV nere till höger.
- “Ett koordinatsystem har bara positiva tal.” Axlarna fortsätter åt båda hållen, och de negativa talen ligger åt vänster och nedåt. En bild med bara första kvadranten är ett utsnitt.
- “Axlarna måste ha samma skala.” De får ha olika skala, men då ser en linje med k = 1 inte ut att luta 45°, och en cirkel ser inte rund ut.
Vanliga frågor
Hur ritar jag in en punkt?
Börja i origo. Gå x steg längs x-axeln, åt höger om x är positivt och åt vänster om det är negativt. Gå sedan
y steg upp eller ner. För (−2, 3) blir det två steg åt vänster och tre steg upp.
Varför kallas det kartesiskt koordinatsystem?
Efter den franske matematikern och filosofen René Descartes, som på 1600-talet använde koordinater för att koppla
ihop geometri och algebra.
Vad är skillnaden mellan ett koordinatsystem och en graf?
Koordinatsystemet är axlarna och rutnätet. Grafen är det som ritas i det, till exempel linjen y = 2x + 1.
Hur anger jag en punkt i rummet?
Med tre koordinater (x, y, z), där z mäts längs en tredje axel som är vinkelrät mot de två andra. Punkten
(2, 3, 4) ligger 2 steg längs x-axeln, 3 längs y-axeln och 4 längs z-axeln.