Vad det är
En funktion är en regel som till varje tillåtet värde på x, indata, ger exakt ett värde på y, utdata. Skriver man f(x) = 2x + 1 betyder f(3) “det y som regeln f ger för x = 3”, alltså 2 · 3 + 1 = 7.
Tre ord hör till begreppet:
- Definitionsmängden är de x-värden regeln får tillämpas på.
- Värdemängden är de y-värden som faktiskt kommer ut.
- Funktionsuttrycket är själva regeln, som f(x) = 2x + 1.
En funktion kan visas på fyra sätt: med ord, med funktionsuttryck, med tabell och med graf.
- f(x) = 2x + 1. f(3) = 7, f(0) = 1 och f(−2) = −3. Varje x ger ett enda y.
- g(x) = x². g(3) = 9 och g(−3) = 9. Två olika x får gärna ge samma y, det är bara motsatsen som är förbjuden. Värdemängden är alla y ≥ 0.
- Taxipriset 50 + 12 · k kronor för k km. För k = 10 blir det 50 + 120 = 170 kr. Här är definitionsmängden k ≥ 0, inte alla tal.
- h(x) = 1/x. h(4) = 0,25. För x = 0 finns inget värde, så definitionsmängden är alla x utom 0.
Det här är inte funktioner:
- Cirkeln x² + y² = 1. För x = 0 passar både y = 1 och y = −1, alltså två utdata för ett indata.
- x = y². För x = 4 passar både y = 2 och y = −2.
- Tabellen med paren (2, 5) och (2, 8). x = 2 ger både 5 och 8.
Grafen visar skillnaden: en kurva är grafen till en funktion om varje lodrät linje skär den högst en gång. Cirkeln skärs två gånger av linjen x = 0.
Varför det spelar roll
Funktionen är det som gör att man kan tala om samband mellan två storheter utan att räkna ut dem en och en: priset som beror på antalet, sträckan som beror på tiden. De vanliga familjerna har egna sidor:
- Räta linjens ekvation är funktioner av typen y = kx + m.
- Exponentiell tillväxt har x i exponenten.
- Potensfunktionen har x som bas.
Två funktioner kan kopplas ihop: sammansatt funktion låter den ena räkna på den andras svar, och invers funktion ångrar vad den första gjorde. I grafräknaren kan man skriva in ett funktionsuttryck och se grafen.
Vanliga missuppfattningar
- “f(x) betyder f gånger x.” Nej, f är namnet på regeln och f(x) är utdata för indata x. Därför är f(2x) i allmänhet inte 2 · f(x): med f(x) = x + 1 är f(2 · 3) = f(6) = 7 men 2 · f(3) = 2 · 4 = 8.
- “Två x med samma y gör att det inte är en funktion.” Det är tvärtom: g(x) = x² får ge 9 både för 3 och för −3. Det som inte går är ett x med två olika y.
- “En funktion måste ha ett uttryck.” En tabell eller en beskrivning i ord räcker, bara varje indata har ett utdata.
- “Definitionsmängden är alla tal.” Den är det som regeln tillåter: x ≥ 0 för √x, x ≠ 0 för 1/x.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan en funktion och en ekvation?
Funktionen f(x) = 2x + 1 är en regel som ger ett y för varje x. Ekvationen 2x + 1 = 7 frågar tvärtom
vilket x som ger y = 7, och svaret är x = 3.
Är varje graf en funktion?
Nej. Är grafen en kurva som en lodrät linje skär mer än en gång, som cirkeln x² + y² = 1, hör den inte
till någon funktion y = f(x).
Vad är skillnaden mellan definitionsmängd och värdemängd?
Definitionsmängden är de indata funktionen tar emot, värdemängden de utdata som kommer ut. För
f(x) = √x är båda alla tal som är 0 eller större; för g(x) = x² är definitionsmängden alla tal men
värdemängden bara y ≥ 0.