Vad det är
En asymptot är en rät linje som en graf kommer allt närmare: avståndet mellan grafen och linjen går mot 0 när grafen går ut mot oändligheten, åt sidorna eller uppåt och nedåt. Grafen behöver inte nå linjen. Asymptoten hör inte till grafen och ritas ofta streckad.
Det finns tre sorter, efter linjens riktning:
| Sort | Linje | När den finns | Exempel |
|---|---|---|---|
| lodrät | x = a | f(x) växer obegränsat, mot ∞ eller −∞, när x närmar sig a | f(x) = 1/(x − 2) har x = 2 |
| vågrät | y = L | f(x) närmar sig talet L när x går mot ∞ eller −∞ | f(x) = 1/x har y = 0 |
| sned | y = kx + m med k ≠ 0 | f(x) − (kx + m) går mot 0 när x går mot ∞ eller −∞ | f(x) = (2x² + x + 3)/(x − 1) har y = 2x + 3 |
Varje sort har en egen sida med metod och fler exempel: vertikal asymptot, horisontell asymptot och sned asymptot.
En funktion kan ha flera. f(x) = (3x + 1)/(x + 2) = 3 − 5/(x + 2) har två. Nämnaren är 0 för x = −2 medan täljaren är 3 · (−2) + 1 = −5, så x = −2 är en lodrät asymptot. Termen 5/(x + 2) går mot 0 när x går mot ∞ eller −∞, så y = 3 är en vågrät asymptot.
Inga asymptoter:
- f(x) = x². Funktionen har ett värde för varje x och växer över alla gränser åt båda hållen, men ingen rät linje kommer allt närmare parabeln.
- f(x) = sin x. Grafen svänger mellan −1 och 1 utan att närma sig någon linje.
- f(x) = (x² − 4)/(x − 2). Nämnaren är 0 för x = 2, men för alla andra x är kvoten x + 2. Grafen har ett hål i (2, 4) och ingen asymptot.
Det är inte bara bråk som har asymptoter. ln x har den lodräta asymptoten x = 0, eˣ har y = 0 när x går mot −∞, och tan x har de lodräta asymptoterna x = π/2 + nπ för varje heltal n.
Varför det spelar roll
Asymptoterna visar hur en graf beter sig där det inte går att räkna ut varje punkt: nära ett x där funktionen saknar värde, och långt ut åt sidorna. De är också stommen när en graf skissas för hand: markera asymptoterna, räkna ut några punkter och dra kurvan mellan dem.
Så hittar du dem:
- Lodräta finns där nämnaren är 0 men inte täljaren, eller där funktionen på annat sätt växer obegränsat. Kontrollera med ett gränsvärde.
- Vågräta ger gränsvärdena när x går mot ∞ och mot −∞. Undersök båda hållen.
- Sneda finns hos ett rationellt uttryck när täljarens grad är en högre än nämnarens. Polynomdivision ger (2x² + x + 3)/(x − 1) = 2x + 3 + 6/(x − 1), och eftersom 6/(x − 1) går mot 0 är asymptoten y = 2x + 3.
Vågräta asymptoter finns i modeller där något närmar sig en gräns. Begränsad tillväxt närmar sig gränsen M, och y = M är en vågrät asymptot.
Rita f(x) = (3x + 1)/(x + 2) i grafräknaren och se hur kurvan närmar sig x = −2 och y = 3 utan att nå dem.
Vanliga missuppfattningar
- “En graf kan aldrig korsa sin asymptot.” En graf kan korsa en vågrät eller sned asymptot. f(x) = x/(x² + 1) har y = 0 som vågrät asymptot och går ändå genom (0, 0). Vid en lodrät asymptot x = a går funktionsvärdena mot ∞ eller −∞ när x närmar sig a.
- “Asymptoten är en del av grafen.” Den är en egen linje, och grafen kommer bara allt närmare den.
- “Alla grafer har en asymptot.” Många har ingen, till exempel x² och sin x.
- “Är nämnaren 0 finns en lodrät asymptot.” Bara om täljaren inte också är 0 där. (x² − 4)/(x − 2) har ett hål i (2, 4) och ingen asymptot.
- “Det räcker att undersöka x → ∞.” Åt vänster kan det se annorlunda ut. eˣ har y = 0 som asymptot åt vänster men ingen vågrät asymptot åt höger.
Vanliga frågor
Hur många asymptoter kan en funktion ha?
Hur många lodräta som helst: tan x har oändligt många. Åt höger finns högst en vågrät eller sned asymptot, och
åt vänster likaså, så tillsammans högst två sådana. arctan x har två vågräta, y = π/2 åt höger och y = −π/2 åt
vänster.
Vad är skillnaden mellan en asymptot och ett gränsvärde?
Gränsvärdet är talet funktionen närmar sig, L i lim f(x) = L. Asymptoten är linjen y = L, som visar samma sak i
grafen.
Kan en sned och en vågrät asymptot finnas åt samma håll?
Nej. Åt ett och samma håll finns antingen en vågrät eller en sned asymptot. En sned linje och en vågrät linje går
isär långt ut, så grafen kan inte komma allt närmare båda.