Andragradsfunktion

Vad det är

En andragradsfunktion är en funktion f(x) = ax² + bx + c, där a, b och c är fasta tal och a ≠ 0. Grafen är en parabel. Med a = 0 försvinner x²-termen och det som blir kvar är en linjär funktion; därför kräver definitionen a ≠ 0.

De tre talen styr parabeln på olika sätt:

• a avgör åt vilket håll parabeln öppnar sig: uppåt när a > 0, med en lägsta punkt, och nedåt när a < 0, med en högsta punkt. Ju större |a| är, desto smalare blir parabeln.
• c är f(0), där parabeln skär y-axeln.
• b bestämmer tillsammans med a var parabeln vänder.

Tre egenskaper efterfrågas oftast: symmetrilinje, extrempunkt och nollställen. Ta f(x) = x² − 4x + 3, där a = 1, b = −4 och c = 3.

• Symmetrilinjen är den lodräta linje som parabeln är spegelsymmetrisk kring: x = −b/(2a) = 4/2 = 2. Varför står på sidan om parabelns symmetrilinje.
• Extrempunkten ligger på symmetrilinjen: f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, alltså (2, −1). Eftersom a > 0 är den en lägsta punkt.
• Nollställena är de x där f(x) = 0, där grafen skär x-axeln. x² − 4x + 3 = 0 ger x = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, alltså x = 1 och x = 3. De ligger lika långt från symmetrilinjen, ett steg åt vardera hållet.

Med a < 0 vänder allt: f(x) = −x² + 6x − 5 har den högsta punkten (3, 4) och nollställena 1 och 5.

Samma funktion kan skrivas på tre sätt, och varje skrivsätt visar något:

• f(x) = x² − 4x + 3 visar skärningen med y-axeln, c = 3.
• f(x) = (x − 2)² − 1, vertexformen, visar extrempunkten (2, −1).
• f(x) = (x − 1)(x − 3) visar nollställena 1 och 3.

Antalet nollställen är två, ett eller inget, och diskriminanten avgör vilket. f(x) = x² − 4x + 3 har två. f(x) = x² har ett, x = 0, eftersom lägsta punkten ligger på x-axeln. f(x) = x² + 1 har inget, eftersom lägsta punkten (0, 1) ligger ovanför x-axeln.

Inte andragradsfunktioner:

• f(x) = 2x + 1. Här är a = 0, och grafen är en rät linje.
• f(x) = x³ − x. Den högsta exponenten är 3, så det är en tredjegradsfunktion.
• x = y². En parabel som ligger ner, men ingen funktion av x: x = 4 ger både y = 2 och y = −2.

Varför det spelar roll

Andragradsfunktioner dyker upp där något har ett största eller minsta värde. Utan luftmotstånd och med g ≈ 10 m/s² är höjden hos en boll som kastas rakt upp med 20 m/s h(t) = −5t² + 20t meter efter t sekunder. Symmetrilinjen t = −20/(2 · (−5)) = 2 ger den högsta höjden h(2) = −20 + 40 = 20 m, och nollställena t = 0 och t = 4 är kastet och landningen. En rektangel med omkretsen 20 har sidorna x och 10 − x och arean A(x) = x(10 − x) = −x² + 10x, som är störst, 25, när x = 5.

Vilket verktyg som passar beror på frågan:

• Nollställena ger pq-formeln eller abc-formeln, och ekvationslösaren visar stegen.
• Extrempunkten får du ur symmetrilinjen, eller genom kvadratkomplettering till vertexform.
• Faktorformen hänger ihop med faktorsatsen: x − 1 och x − 3 är faktorer eftersom 1 och 3 är nollställen.

Ändra a, b och c med reglagen i grafräknaren och se hur parabeln vänder, vidgas och flyttas.

Vanliga missuppfattningar

• “En parabel har två nollställen.” Den kan ha två, ett eller inget, som x² − 4x + 3, x² och x² + 1. Diskriminanten avgör.
• “c är parabelns lägsta punkt.” c är f(0), skärningen med y-axeln. För x² − 4x + 3 är c = 3 men det lägsta värdet −1. De sammanfaller bara när b = 0.
• “Symmetrilinje, extrempunkt och nollställe är tre namn på samma sak.” Symmetrilinjen är en lodrät linje, x = 2. Extrempunkten är en punkt på den, (2, −1). Nollställena är de x-värden där y = 0, här 1 och 3.
• “Dubblar jag x så dubblas y.” Det gäller för f(x) = kx, där y är proportionell mot x. För f(x) = x² blir y fyra gånger så stort: f(3) = 9 och f(6) = 36.

Vanliga frågor