Ekvationslösare

Så använder du lösaren

• Skriv ekvationen som du skriver den på papper, med ett likhetstecken: 3(x - 2) = x + 4, x^2 - 5x + 6 = 0, x/2 + x/3 = 5. En olikhet skrivs med <, >, <= eller >=, eller med tecknen ≤ och ≥. Du kan skriva x^2 eller x², och underförstådd multiplikation fungerar, så 2x och 3(x + 1) går bra.
• Decimaltal skrivs med komma, som 0,5x = 3.
• En obekant. Den behöver inte heta x: 2t + 1 = 7 löses för t.
• Uträkningen visas medan du skriver, och varje rad har skälet ovanför sig: vad som lades till, drogs bort eller delades på båda sidor.
• Adressfältet innehåller ekvationen, så en länk tar fram samma uträkning igen.

Vilka ekvationer den löser

Förstagradsekvationer i vilken uppställning som helst. Parenteser multipliceras ut, bråk tas bort genom att båda sidor multipliceras med den gemensamma nämnaren, och sedan samlas x på ena sidan och talen på den andra.

Andragradsekvationer löses på det kortaste sätt som fungerar:

• x² = 9 löses med roten ur, och båda svaren skrivs ut: x = 3 eller x = −3. Det är det steg där det andra svaret oftast tappas bort.
• En produkt som är noll, som x(x − 4) = 0, löses faktor för faktor.
• Saknas konstanttermen bryts x ut.
• Är rötterna heltal faktoriseras ekvationen.
• Annars används pq-formeln, och svaret skrivs exakt, som −2 ± √5, med decimaler bredvid.

Har ekvationen en dubbelrot eller inga reella lösningar säger lösaren det. Blir båda sidor alltid lika, som i 2(x + 1) = 2x + 2, är varje x en lösning, och kan de aldrig bli lika finns ingen.

Tredjegradsekvationer löses när de har en heltalsrot. Saknas konstanttermen bryts x ut. Annars prövar lösaren konstanttermens delare tills vänsterledet blir noll, delar bort den faktorn med polynomdivision och löser andragradsekvationen som blir kvar.

Olikheter av första och andra graden, och av tredje graden när de har en heltalsrot. En förstagradsolikhet löses som en ekvation, med ett undantag som lösaren skriver ut på raden där det händer: när båda sidor multipliceras eller delas med ett negativt tal vänds olikhetstecknet. Från andra graden flyttas allt till vänster sida, nollställena räknas ut, och en teckentabell visar var uttrycket är positivt och var det är negativt. Svaret står både som olikhet och som intervall, till exempel −2 < x < 3, alltså x ∈ ]−2; 3[. Har uttrycket inga nollställen säger lösaren om det är positivt eller negativt för varje x.

Det den inte löser säger den rakt ut i stället för att gissa: x i en nämnare (1/x = 2), x under ett rottecken eller i en funktion, två obekanta i samma ekvation, tredjegradare utan heltalsrot, ekvationer av fjärde graden eller högre och dubbla olikheter som 1 < x < 3. De kräver andra metoder än de som skrivs ut här.

Räkneexempel

Parenteser. 3(x − 2) = x + 4. Multiplicera ut: 3x − 6 = x + 4. Dra bort x från båda sidor: 2x − 6 = 4. Lägg till 6: 2x = 10. Dela med 2: x = 5. Sätt in för att kontrollera: 3 · 3 = 9 och 5 + 4 = 9.

Faktorisering. x² − 5x + 6 = 0. Två tal med produkten 6 och summan −5 är −2 och −3, så ekvationen är (x − 2)(x − 3) = 0. En produkt är noll när någon faktor är det: x = 2 eller x = 3.

pq-formeln. x² + 4x − 1 = 0 har inga heltalsrötter. Med p = 4 och q = −1 ger pq-formeln x = −2 ± √(4 + 1) = −2 ± √5, alltså ungefär 0,236 och −4,236.

Olikhet av första graden. 1 − 2x > 7. Dra bort 1 från båda sidor: −2x > 6. Dela med −2, och vänd tecknet eftersom talet är negativt: x < −3. Pröva med x = −4: 1 + 8 = 9, och 9 > 7.

Teckentabell. x² − x − 6 < 0. Nollställena är x = −2 och x = 3, så vänsterledet är (x + 2)(x − 3). Båda faktorerna är negativa till vänster om −2, så produkten är positiv där. Mellan nollställena har faktorerna olika tecken och produkten är negativ, och till höger om 3 är den positiv igen. Olikheten gäller där produkten är negativ: −2 < x < 3.

Tredje graden. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. Pröva x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0, så x − 1 är en faktor. Polynomdivisionen ger x² − 5x + 6, som faktoriseras till (x − 2)(x − 3). Lösningarna är x = 1, x = 2 och x = 3.