Linjär funktion

Vad det är

En linjär funktion är en funktion av formen f(x) = kx + m, där k och m är fasta tal. Grafen är en rät linje.

• k är lutningen, riktningskoefficienten: så mycket ändras y när x ökar med 1.
• m är y-värdet när x = 0, alltså där linjen skär y-axeln.

Fyra exempel:

• f(x) = 2x + 1. k = 2 och m = 1. f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 5 och f(3) = 7: varje steg åt höger ger 2 till.
• f(x) = −0,5x + 4. k = −0,5 och m = 4, så linjen lutar nedåt. f(0) = 4, f(2) = 3 och f(4) = 2.
• f(x) = 3x. m = 0, så linjen går genom origo. y är 3 gånger x, och det kallas direkt proportionalitet.
• f(x) = 5. k = 0, så linjen är vågrät och y är 5 för alla x.

Så känner du igen en linjär funktion:

• I en graf är den en rät linje, utan böjar och utan knyckar.
• I en tabell ändras y lika mycket varje gång x ökar lika mycket. x = 0, 1, 2, 3, 4 och y = 1, 4, 7, 10, 13 ökar med 3 varje gång och hör till f(x) = 3x + 1.
• I ett uttryck står x bara som ett tal gånger x, plus ett fast tal.

Inte linjära funktioner:

• f(x) = x². f(1) = 1, f(2) = 4 och f(3) = 9: y växer först med 3 och sedan med 5. Grafen är en parabel.
• f(x) = 2ˣ. f(1) = 2, f(2) = 4 och f(3) = 8: y fördubblas i stället för att öka lika mycket.
• f(x) = |x|. Grafen är två räta halvlinjer som möts i en knyck i origo.
• x = 3. En rät linje, men lodrät. Till x = 3 hör alla y och inte ett enda, så den är ingen funktion.

Varför det spelar roll

Linjära funktioner beskriver det som ändras lika mycket för varje steg: en startnivå och en fast ändring per enhet. Ett ljus är 30 cm högt och brinner ner 5 cm i timmen, så höjden efter t timmar är h(t) = −5t + 30. k = −5 är ändringen per timme och m = 30 höjden från början. Efter 2 timmar är ljuset 20 cm högt, och −5t + 30 = 0 ger t = 6: efter 6 timmar är det slut. Funktionen gäller bara för t mellan 0 och 6, eftersom en höjd inte kan vara negativ.

Två punkter räcker för att bestämma en linjär funktion. Linjen genom (1, 3) och (4, 9) har k = (9 − 3)/(4 − 1) = 2. Insatt i f(x) = 2x + m ger punkten (1, 3) att 3 = 2 · 1 + m, alltså m = 1 och f(x) = 2x + 1. Stegen finns på sidorna om riktningskoefficient ur två punkter och räta linjens ekvation, och tvåpunktsformeln gör det i ett enda uttryck.

Lika mycket per steg är det som gör en funktion linjär. Ökar något med lika många procent per steg är det i stället exponentiell tillväxt: 100, 110, 121 och 133,1 ökar med 10, 11 och 12,1 och är inte linjära. En proportionalitet är den linjära funktion där m = 0.

Dra i reglagen för k och m i grafräknaren och se hur linjen vrids och flyttas.

Vanliga missuppfattningar

• “Linjär betyder att linjen går genom origo.” Det gäller bara när m = 0, som för f(x) = 3x. f(x) = 2x + 1 är linjär och skär y-axeln i 1.
• “Alla räta linjer är linjära funktioner.” Alla utom de lodräta. x = 3 är en rät linje, men till x = 3 hör alla y, så den är ingen funktion.
• “Något som ökar varje steg är linjärt.” Det måste öka lika mycket varje steg. 100, 110, 121 och 133,1 ökar med 10 % per steg, men ökningarna 10, 11 och 12,1 är olika stora.
• “k är talet som står först och m talet som står sist.” k är talet som multipliceras med x. I f(x) = 4 + 3x är k = 3 och m = 4.
• “En linjär funktion har ett nollställe.” Det gäller när k ≠ 0, och då är nollstället x = −m/k. f(x) = 5 saknar nollställe.

Vanliga frågor