Vad det är
Ett linjärt ekvationssystem är två eller fler linjära ekvationer med samma obekanta, som alla ska gälla samtidigt. Med de obekanta x och y kan det se ut så här:
- (1) y = 2x + 1
- (2) 3x + y = 11
En lösning är ett värdepar (x, y) som gör alla ekvationerna sanna på en gång. x = 2 och y = 5 är en lösning: (1) ger 2 · 2 + 1 = 5 och (2) ger 3 · 2 + 5 = 11. Paret x = 0 och y = 1 uppfyller (1) men inte (2), eftersom 3 · 0 + 1 är 1 och inte 11, så det är ingen lösning till systemet.
I en graf är varje ekvation en rät linje i ett koordinatsystem, och punkterna på linjen är de värdepar som löser just den ekvationen. En lösning till systemet är en punkt som ligger på alla linjerna. För två ekvationer med två obekanta finns tre fall:
| Linjerna | Lösningar | Exempel |
|---|---|---|
| skär varandra i en punkt | en | y = 2x + 1 och 3x + y = 11 |
| är parallella, med samma k och olika m | ingen | y = 2x + 1 och y = 2x + 3 |
| är samma linje | oändligt många | y = 2x + 1 och 2y = 4x + 2 |
- Ingen lösning. I y = 2x + 1 och y = 2x + 3 ger insättning 2x + 1 = 2x + 3, alltså 1 = 3, som inte stämmer för något x. Linjerna har samma k och olika m, så de är parallella och möts aldrig.
- Oändligt många lösningar. I y = 2x + 1 och 2y = 4x + 2 är den andra ekvationen den första gånger 2. Båda beskriver samma linje, och varje punkt på den är en lösning, till exempel (0, 1), (1, 3) och (2, 5).
Med tre obekanta är varje ekvation ett plan i rummet, och en lösning är en punkt (x, y, z) som ligger i alla planen. Fallen är desamma: en lösning, ingen eller oändligt många. Systemet x + y + z = 6, 2x − y + z = 3 och x + 2y − z = 2 har lösningen x = 1, y = 2 och z = 3.
Ett ekvationssystem är inte linjärt om en obekant står i kvadrat, i en produkt som xy eller i en nämnare. x² + y = 5 och x + y = 3 har två lösningar, (2, 1) och (−1, 4), vilket ett linjärt system inte kan ha.
Varför det spelar roll
Ett ekvationssystem behövs när två villkor ska gälla på en gång. Abonnemang A kostar 99 kr i månaden plus 0,50 kr per minut, och abonnemang B kostar 49 kr plus 1 kr per minut. Med kostnaden y och antalet minuter x blir det y = 0,5x + 99 och y = x + 49. Abonnemangen kostar lika mycket där linjerna möts: 0,5x + 99 = x + 49 ger x = 100, och kostnaden är då 149 kr. Under 100 minuter är B billigast, över 100 minuter A.
Lösningen hittar du genom att rita linjerna eller genom att räkna. Substitutionsmetoden, additionsmetoden och Cramers regel ger samma svar. Systemet ovan finns uträknat i ekvationssystemräknaren, och grafräknaren ritar y = 2x + 1 och y = 11 − 3x och visar punkten (2, 5) där de skär varandra.
Står det olikheter i stället för likheter handlar det om linjär optimering.
Vanliga missuppfattningar
- “Lösningen är ett tal.” Lösningen är ett värdepar: x = 2 är ena halvan av svaret och y = 5 den andra. Med tre obekanta är lösningen tre tal.
- “Två ekvationer med två obekanta har en lösning.” Det gäller när linjerna har olika k. Har de samma k finns ingen lösning eller oändligt många.
- “Får jag 1 = 3 har jag räknat fel.” Inte nödvändigtvis. 1 = 3 betyder att linjerna är parallella och att systemet saknar lösning, och 0 = 0 betyder att ekvationerna beskriver samma linje.
- “Ett värdepar som uppfyller en av ekvationerna räcker.” Paret måste uppfylla alla. (0, 1) ligger på y = 2x + 1 men inte på 3x + y = 11.
Vanliga frågor
Hur många lösningar kan ett linjärt ekvationssystem ha?
Ingen, en eller oändligt många. Två går inte: två punkter bestämmer en enda rät linje, så två linjer med två
gemensamma punkter är samma linje och har alla sina punkter gemensamma.
Vilken metod ska jag välja?
Substitution passar när en variabel står ensam eller har koefficienten 1. Addition passar när koefficienterna
lätt kan göras lika stora med motsatta tecken. Grafen ger bilden men bara ett närmevärde om skärningspunkten inte
hamnar på rutnätet. Metoderna ger samma lösning.
Kan ett system ha fler ekvationer än obekanta?
Ja. x + y = 3, x − y = 1 och 2x + y = 5 har lösningen x = 2 och y = 1, och den tredje ekvationen tillför inget
nytt. Byts den mot 2x + y = 6 saknas lösning, eftersom de två första bara tillåter x = 2 och y = 1.
Hur skriver jag svaret när det finns oändligt många lösningar?
Som linjen lösningarna ligger på. För y = 2x + 1 och 2y = 4x + 2 är lösningarna alla par (x, y) med y = 2x + 1:
varje x ger en lösning.