Radian

Vad det är

Radian är ett mått på vinklar som utgår från cirkeln i stället för från talet 360. Rita en cirkel med radien r och mät en båge längs kanten som också är r lång. Vinkeln mellan radierna till bågens ändpunkter är 1 radian.

Omkretsen är 2πr, så radien ryms 2π ≈ 6,283 gånger runt cirkeln. Ett helt varv är därför 2π radianer, ett halvt varv π och ett kvarts varv π/2:

• 180° = π rad ≈ 3,14 rad
• 90° = π/2 rad ≈ 1,57 rad
• 60° = π/3 rad, 45° = π/4 rad, 30° = π/6 rad
• 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°

Med radianer blir båglängden enkel: b = r · v. En vinkel på 2 rad i en cirkel med radien 5 cm ger en båge på 10 cm, se båglängd i radianer. Sektorns area är r² · v / 2, här 25 · 2 / 2 = 25 cm² (sektorns area i radianer).

Det som inte är en radian:

• 90 är inte π/2 rad. 90 rad är drygt 14 varv: 90 / (2π) ≈ 14,3.
• “π” som ett gradtal. π ≈ 3,14 är ett tal; π rad är 180°, men π° är bara cirka 0,05 rad.
• En längd i centimeter. Radianen är förhållandet mellan båge och radie, så enheterna tar ut varandra (cm / cm). Därför kallas den ofta enhetslös.

Varför det spelar roll

Radianer är det mått där formler blir enkla. Båglängden b = r · v och sektorarean r²v/2 har inga extra tal. I analysen gäller derivatan av sin x som cos x bara när x är i radianer; i grader tillkommer faktorn π/180.

För att byta enhet finns grader till radianer och radianer till grader. På enhetscirkeln räknas vinklarna ofta i radianer.

Vanliga missuppfattningar

• “Radianer är en annan sorts vinkel.” Det är samma vinkel i ett annat mått, som meter och fot.
• “En vinkel i radianer måste innehålla π.” π/3 är bekvämt att skriva eftersom 60° är en enkel del av ett varv, men 1, 2 och 0,5 rad är lika giltiga vinklar. 1 rad är ungefär 57,3°.
• “Räknaren ger rätt svar oavsett läge.” sin 90 är 1 i gradläge men ungefär 0,894 i radianläge, för 90 rad är 2,04 rad efter 14 hela varv. Kontrollera läget.
• “π är 180.” π rad motsvarar 180°; talet π är ungefär 3,14.

Vanliga frågor