Enhetscirkeln förklarad

Vad det är

Enhetscirkeln är den cirkel i koordinatsystemet som har medelpunkten i origo och radien 1. Dess ekvation är x² + y² = 1. En punkt (x, y) ligger på den om x² + y² = 1.

Vinkeln v mäts från den positiva x-axeln, moturs. Strålen från origo vid vinkeln v skär cirkeln i en punkt, och den punktens koordinater definierar cosinus och sinus:

(x, y) = (cos v, sin v)

Exempel:

• v = 0°: punkten är (1, 0), så cos 0° = 1 och sin 0° = 0.
• v = 90°: punkten är (0, 1), så cos 90° = 0 och sin 90° = 1.
• v = 60°: punkten är (1/2, √3/2) ≈ (0,5; 0,866).
• v = 180°: punkten är (−1, 0), så cos 180° = −1. Definitionen fungerar alltså för trubbiga vinklar, där en rätvinklig triangel inte räcker.
• v = 120°: punkten är (−1/2, √3/2), så cos 120° = −0,5 och sin 120° = sin 60° ≈ 0,866.

Det som inte ligger på enhetscirkeln:

• (0,6; 0,6) är ingen punkt på den: 0,6² + 0,6² = 0,72, inte 1. (0,6; 0,8) ligger däremot på den, för 0,36 + 0,64 = 1.
• En cirkel med radie 2 är ingen enhetscirkel. Där är punkten vid v lika med (2 cos v, 2 sin v).
• Tangens är inte en koordinat på cirkeln. Den är kvoten sin v / cos v, och odefinierad där cos v = 0.

Alla värden finns i tabellen över enhetscirkeln.

Varför det spelar roll

I en rätvinklig triangel kan sinus och cosinus bara beskriva vinklar under 90°. Enhetscirkeln utvidgar dem till varje vinkel, även negativa och över ett varv, och därför kan man tala om sinus på enhetscirkeln och cosinus på enhetscirkeln. Från definitionen följer den trigonometriska ettan: cos² v + sin² v = 1, för punkten ligger på x² + y² = 1.

Den ger också symmetrierna: sin (180° − v) = sin v, och periodiciteten: efter ett varv är man tillbaka. Vinklarna ges ofta i radianer. Definitionerna från den rätvinkliga triangeln, sinus och cosinus, ger samma värden för spetsiga vinklar. Kurvan kan ritas i grafräknaren.

Vanliga missuppfattningar

• “Sinus är x-koordinaten.” Det är tvärtom: cosinus är x-koordinaten och sinus y-koordinaten.
• “Sinus och cosinus är alltid positiva.” I en rätvinklig triangel är de det, för sidor är positiva. På enhetscirkeln är cosinus negativ till vänster om y-axeln och sinus negativ under x-axeln: cos 120° = −0,5.
• “Sinus kan bli större än 1.” På enhetscirkeln är y högst 1 och lägst −1, så sin v ligger mellan −1 och 1.
• “Negativa vinklar finns inte.” Negativ vinkel är vridning medurs: −90° ger punkten (0, −1).

Vanliga frågor