Talföljd

Vad det är

En talföljd är tal skrivna i en bestämd ordning: a₁, a₂, a₃, … Varje tal är en term, och indexet n anger platsen. Följden kan vara ändlig, med ett sista tal, eller oändlig.

Man kan ange en talföljd på två sätt:

• Explicit formel, där termen på plats n räknas ut direkt. För aₙ = 2n är a₅ = 10 och a₁₀₀ = 200, utan att man behöver gå via de termer som kommer före.
• Rekursion, där varje term räknas ut ur den eller de föregående, tillsammans med en startterm. Med a₁ = 3 och aₙ = 2 · aₙ₋₁ − 1 blir följden 3, 5, 9, 17, 33, …

Exempel:

• 2, 4, 6, 8, … med aₙ = 2n. Varje term är 2 mer än den förra.
• 7, 10, 13, … med aₙ = 3n + 4. Se aritmetisk talföljd.
• 5, 10, 20, 40, … med aₙ = 5 · 2ⁿ⁻¹. Se geometrisk talföljd.
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (Fibonaccis följd), där varje term är summan av de två föregående: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8. Den tionde termen är 55.
• 1, 4, 9, 16, … med aₙ = n². Differenserna 3, 5, 7 växer, och kvoterna 4 och 2,25 varierar, så följden är varken aritmetisk eller geometrisk.

Det här är inte talföljder:

• Mängden {2, 4, 6, 8}. I en mängd spelar ordningen ingen roll, i en talföljd gör den det: 2, 4, 6, 8 och 8, 6, 4, 2 är olika följder.
• Summan 2 + 4 + 6 + 8 = 20. Det är ett enda tal. Summan av en talföljds termer kallas serie, se aritmetisk summa.

Varför det spelar roll

En talföljd är en funktion vars indata är platserna 1, 2, 3, …, och därför ritas den som separata punkter, inte som en sammanhängande kurva. Begreppet dyker upp överallt där något upprepas steg för steg: ett sparande som växer med insättningar, en dos som byggs upp och bryts ner, månad för månad.

• Lika stora steg ger en aritmetisk talföljd, se också differensen.
• Lika stora faktorer ger en geometrisk talföljd.
• Båda är specialfall av rekursiv talföljd, aₙ = k · aₙ₋₁ + m, som räknar ut termer en i taget.

Vanliga missuppfattningar

• “Alla talföljder är aritmetiska eller geometriska.” Kvadrattalen 1, 4, 9, 16 är det inte.
• “Tre tal avgör mönstret.” 1, 2, 4 kan fortsätta med 8 (dubbla varje gång) eller med 7 (stegen 1, 2, 3 växer). Båda följderna börjar på 1, 2, 4. Ett mönster behöver en regel, inte bara några termer.
• “Rekursionsformeln räcker.” Utan starttermen passar regeln aₙ = 2aₙ₋₁ − 1 på flera följder: börjar man på 3 får man 3, 5, 9, …, börjar man på 1 får man 1, 1, 1, …
• “Indexet börjar alltid på 1.” Många böcker börjar på 1, andra på 0; det ändrar vad “den tionde termen” är. Kolla vad uppgiften utgår från.

Vanliga frågor