Exponentialfunktion

Vad det är

En exponentialfunktion har formen f(x) = C · aˣ, där C ≠ 0 och basen a är positiv och skild från 1. C är startvärdet, f(0) = C, och a är förändringsfaktorn: när x ökar med 1 multipliceras funktionsvärdet med a.

• f(x) = 2ˣ. f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8 och f(−1) = 1/2. Varje steg åt höger dubblar värdet.
• f(x) = 500 · 1,05ˣ. 500 kr som växer med 5 % om året. Efter 10 år är det 500 · 1,05¹⁰ ≈ 814,45 kr.
• f(x) = 80 · 0,5ˣ. Värdet halveras för varje steg: 80, 40, 20, 10, 5 …

Grafen går genom punkten (0, C). För C > 0 växer funktionen när a > 1 och avtar när 0 < a < 1, och grafen ligger hela tiden ovanför x-axeln, som är en vågrät asymptot. För C < 0 är grafen spegelvänd i x-axeln. Definitionsmängden är alla reella tal.

Villkoren på basen har sina skäl. Med a = 1 blir f(x) = C, en konstant. Med en negativ bas saknar aˣ värde för många x: (−2)^(1/2) är inget reellt tal.

Inte exponentialfunktioner:

• x². Det är en potensfunktion: x är basen och exponenten är fast. För x > 0 är 2ˣ och x² lika vid x = 2 och x = 4, och därefter är 2ˣ störst: 2⁵ = 32 mot 5² = 25 och 2¹⁰ = 1 024 mot 10² = 100.
• 3x + 1. Det är en linjär funktion, som lägger till 3 för varje steg i stället för att multiplicera.

Exponentiell eller linjär. Båda har ett startvärde och bestäms av två uppgifter, till exempel två punkter. Skillnaden är vad som är lika i varje steg. Den linjära funktionen lägger till samma tal, så differensen f(x + 1) − f(x) är konstant. Exponentialfunktionen multiplicerar med samma tal, så kvoten f(x + 1)/f(x) är konstant. Grafen blir en rät linje respektive en kurva.

Båda börjar på 100 och är 120 efter ett steg. Sedan drar den exponentiella ifrån.

Varför det spelar roll

Exponentialfunktionen beskriver storheter som ändras med samma andel i varje steg: ränta på ränta, radioaktivt sönderfall och tillväxten hos en population så länge ingenting bromsar den.

• Exponentiell tillväxt löser y = C · aˣ för värdet, startvärdet, förändringsfaktorn eller antalet steg. En ökning med p % per steg ger a = 1 + p/100, som på sidan om förändringsfaktor.
• Exponentialekvationen aˣ = b löses med logaritmer. 2ˣ = 50 ger x = ln 50 / ln 2 ≈ 5,64.
• Halveringstiden är tiden det tar för värdet att gå från C till C/2 när a < 1.
• Derivatan av aˣ är aˣ · ln a. Den är lika med funktionen själv bara när ln a = 1, alltså när a är talet e, och därför har eˣ en egen deriveringsregel.

Rita 2ˣ, 1,2ˣ och 0,5ˣ i samma bild i grafräknaren, och räkna ut hur lång tid en tillväxt tar på sig att fördubbla något med fördubblingstidskalkylatorn.

Vanliga missuppfattningar

• “Exponentiell tillväxt är snabb.” Det beror på basen. 100 · 1,01ˣ växer med 1 % per steg och är 110,46 efter 10 steg, när 100 + 20x är 300. På lång sikt går en exponentialfunktion med C > 0 och a > 1 ändå förbi varje linjär funktion.
• “2ˣ och x² är samma sorts funktion.” I x² är exponenten fast och x basen. I 2ˣ är basen fast och x exponenten. För x > 4 är 2ˣ större än x².
• “20 % om året i fem år blir 100 %.” Faktorn är 1,2⁵ ≈ 2,49, alltså en ökning med ungefär 149 %.
• “Basen kan vara vilket tal som helst.” Den ska vara positiv och skild från 1. Med en negativ bas växlar tecknet för heltal x, och för många andra x saknas värde.
• “En avtagande exponentialfunktion når till slut 0.” 80 · 0,5ˣ är 80/1 024 ≈ 0,078 efter 10 steg och ännu mindre efter fler, men 0 blir den inte för något x. Grafen närmar sig x-axeln utan att nå den.

Vanliga frågor