Talet e

Vad det är

e är ett tal, e = 2,718281828… Det är irrationellt, så decimalerna tar aldrig slut och upprepar sig inte i någon period. Det finns tre vägar fram till talet, och alla tre ger samma tal.

Ränta på ränta. Sätt in 1 kr med 100 % ränta per år. Delas räntan upp på n lika delar av året är beloppet (1 + 1/n)ⁿ kr efter ett år.

Värdena närmar sig e när n växer. e är alltså gränsvärdet av (1 + 1/n)ⁿ när n går mot oändligheten.

Basen med lutningen 1. Grafen till aˣ har lutningen ln a där den skär y-axeln. För a = 2 är lutningen ln 2 ≈ 0,693 och för a = 3 är den ln 3 ≈ 1,099. e är basen mellan 2 och 3 där lutningen är exakt 1. Därför är derivatan av eˣ eˣ själv: lutningen i varje punkt är lika med funktionsvärdet där. Samma sak sägs av gränsvärdet av (eˣ − 1)/x.

En summa. e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + …, där k! = 1 · 2 · … · k. Summan av de första termerna är 2, 2,5, 2,667, 2,708 och 2,717. Det är Maclaurinutvecklingen av eˣ med x = 1.

e är också basen för den naturliga logaritmen: ln e = 1, och e^(ln x) = x för x > 0.

Inte talet e:

• E på miniräknaren. 3,5E4 betyder 3,5 · 10⁴ = 35 000, en tiopotens.
• Eulers konstant γ ≈ 0,5772. Ett annat tal, uppkallat efter samma matematiker. Talet e kallas Eulers tal.

Varför det spelar roll

• Förändring som sker hela tiden. y = Ce^(kx) har derivatan k · y och löser därför differentialekvationen y′ = ky. Tillväxt, avsvalning och sönderfall skrivs därför ofta med potenser av e.
• Kontinuerlig ränta. Ränta som läggs till hela tiden ger A = P · e^(rt). 1 000 kr med 5 % ränta i 10 år blir 1 000 · e^(0,5) ≈ 1 648,72 kr, mot 1 000 · 1,05¹⁰ ≈ 1 628,89 kr när räntan läggs till en gång om året. Se kontinuerlig ränta.
• Varje exponentialfunktion kan skrivas med e. aˣ = e^(x · ln a). Eftersom ln 1,05 ≈ 0,0488 är 1,05ˣ ≈ e^(0,0488x). Se exponentialfunktion.
• Derivering och integrering. (eˣ)′ = eˣ och ∫ eˣ dx = eˣ + C, se primitiv funktion till eˣ.
• Komplexa tal. Eulers identitet e^(iπ) + 1 = 0 är ett specialfall av formeln på sidan om komplexa tal i exponentialform.

Miniräknaren har knappar för e och eˣ, och i grafräknaren syns att y = eˣ har lutningen 1 där den skär y-axeln.

Vanliga missuppfattningar

• “e är ungefär 2,7, så jag räknar med 2,7.” Små fel växer i potenser. e¹⁰ ≈ 22 026, men 2,7¹⁰ ≈ 20 589, ungefär 6,5 % mindre. Använd räknarens e.
• “eˣ är e gånger x.” eˣ betyder e upphöjt till x. e³ ≈ 20,09, medan 3e ≈ 8,15.
• “Derivatan av eˣ är x · e^(x−1).” Potensregeln gäller när x är basen, som i x³ med derivatan 3x². I eˣ är x exponenten, och derivatan är eˣ.
• “En exponentialfunktion måste skrivas med e.” 2ˣ fungerar lika bra, och 2ˣ ≈ e^(0,693x). Basen e är bekväm eftersom lutningen blir 1, men den är inget krav.

Vanliga frågor