Så använder du kalkylatorn
- Skriv a, b, c och d i ax³ + bx² + cx + d = 0. Decimaler går bra; a får inte vara 0.
- Rötterna visas medan du skriver. Ett komplext par skrivs a ± bi. En upprepad rot markeras som dubbelrot eller trippelrot.
- När någon rot är ett bråk skrivs tredjegradaren också i faktoriserad form.
- Uträkningen visar substitutionen, diskriminanten och den formel som gäller.
- Adressfältet håller de fyra koefficienterna, så en länk ger tillbaka samma ekvation.
Metoden
- Dela med a så att koefficienten för x³ blir 1.
- Ta bort x²-termen. Substitutionen x = t − b/3 ger den reducerade ekvationen t³ + pt + q = 0, med p = c − b²/3 och q = 2b³/27 − bc/3 + d.
- Läs av diskriminanten. Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Om Δ > 0 finns tre olika reella rötter, om Δ < 0 en reell rot och ett komplext par, och om Δ = 0 en upprepad rot.
- Använd formeln. Med en reell rot ger Cardanos formel t = u + v, där u = ∛(−q/2 + √D), v = −p/(3u) och D = q²/4 + p³/27. Med tre reella rötter skulle samma formel gå via komplexa tal, så den trigonometriska formen används i stället: t_k = 2√(−p/3) · cos(⅓ arccos((3q/2p)√(−3/p)) − 2πk/3).
- Gå tillbaka till x: x = t − b/3.
Exempel: x³ − 6x² + 11x − 6
Substitutionen x = t + 2 ger t³ − t = 0, alltså p = −1 och q = 0. Diskriminanten är 4, positiv, så det finns tre reella rötter: t = −1, 0 och 1. Tillbaka i x blir de 1, 2 och 3, och tredjegradaren faktoriseras som (x − 1)(x − 2)(x − 3).
Exempel: x³ + x + 1
Här är Δ = −31 < 0: en reell rot, x ≈ −0,6823, och ett komplext par, ungefär 0,3412 ± 1,1615i. Roten är irrationell, så det finns ingen faktoriserad form med heltal.
Ingår inte
Ekvationer av fjärde graden och högre löses inte här, och inte heller partialbråksuppdelning. En andragradsekvation löser ekvationslösaren; att dela ett polynom med ett annat gör polynomdivisionskalkylatorn.